上海市卢湾区2009年高考模拟考试
数学试卷（文科） 2009. 04
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．若集合
，则
．
2．不等式
的解为
．
3．设
的反函数为
，若函数的图像过点
，且
， 则
．
4．若
，
，其中
为虚数单位，且
，则实数
．
5．二项式
的展开式中的常数项为
．
6．若点
是圆
内异于圆心的点，则直线
与该圆的位置关系是
．
7．若
、
满足
，则
的最大值是 ．
8．右图给出的是计算
的值的一个框图，
其中菱形判断框内应填入的条件是 ．
9．在
中，设角
、
、
所对的边分别是
、
、
，若
，
且
, 则
．
10．若函数
能使得不等式
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是
．
11．在平面直角坐标系中，若
为坐标原点，则、、三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数
，使得
成立，此时称实数为“向量
关于
和
的终点共线分解系数”．若已知
、
，且向量
是直线
的法向量，则“向量关于
和
的终点共线分解系数”为
．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
12．若、
为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A．若
，
，则
； B．若
，
，则
；
C．若，
，则； D．若
，
，则．
13．若函数
，则当
时，
可化简为
( )
A．
； B．
； C．
； D．
．
14．设数列
的前项之和为
，若
(
)，则 ( )
A．是等差数列，但不是等比数列； B．是等比数列，但不是等差数列；
C．是等差数列，或是等比数列； D．可以既不是等比数列，也不是等差数列．
15．关于函数
和实数、的下列结论中正确的是 ( )
A．若
，则
； B．若
，则；
C．若，则
； D．若，则
.
三、解答题（本大题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
16. (本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分)
如图，已知点
在圆柱
的底面圆上，
为圆的直径.
（1）求证：
；
（2）若圆柱的体积
为
，
，
，求异面直线
与
所成的角（用
反三角函数值表示结果）.
17． (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
袋中有8个仅颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球.
（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；
（2）若从袋中一次摸出3个球，求所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数的不同摸法的种数.
18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知数列的前
项和为
，且对任意正整数，都满足：
，其中
为实数.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
为杨辉三角第行中所有数的和，即
，
为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列
的前项和，求
的值.
19．(本题满分17分，第1小题6分，第2小题11分)
已知函数
，
.
（1）证明：函数
在区间
上为增函数，并指出函数在区间
上的单调性；
（2）若函数的图像与直线
有两个不同的交点
，
，其中
，求
的取值范围.
20. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分)
如图，已知点
，动点在轴上，点
在轴上，其横坐标不小于零，点
在直线
上，
且满足
，
.
（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹；
（2）过定点
作互相垂直的直线
与
，与
（1）中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于
、
两点，求四边形
面积
的最小值；
（3）将（1）中的曲线推广为椭圆：
，并将（2）中的定点取为焦点
，求与（2）相类似的问题的解.
上海市卢湾区2009年高考模拟考试
一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相离 7．
8．
9．
10．
11．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）证明：易知
，又由
平面
，得
，从而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延长
交圆
于点
，连接
，
，则
，得
或它的补角为异面直线
与
所成的角.
（6分）
由题意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得异面直线 与所成的角为
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为
种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为
，故所求的概率为
； （6分）
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
种不同摸法，
（8分）
一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有
种不同摸法，
（10分）
一种是所摸得的3球均为红球，共有
种不同摸法， （12分）
故符合条件的不同摸法共有
种.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相减得
，由
得
，又
，得
，故数列
是一个以为首项，以
为公比的等比数列.
（4分）
从而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
不存在. （14分）
19．（1）证明：任取
，
，且
，
.
所以
在区间
上为增函数. （5分）
函数在区间
上为减函数.
（6分）
（2）解：因为函数在区间上为增函数，相应的函数值为
，在区间上为减函数，相应的函数值为
，由题意函数的图像与直线
有两个不同的交点，故有
，
（8分）
易知
，
分别位于直线
的两侧，由
，得
，故
，
，又
，
两点的坐标满足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
当
时，
，
.
因此，
的取值范围为
.
（17分）
20. 解：（1）设
，易知
，
，
，由题设
，
得
其中
，从而
，
，且
，
又由已知
，得
，
当
时，
，此时
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
当
时，点
为原点，
为
轴，
为
轴，点也为原点，从而点
也为原点，因此点的轨迹
的方程为，它表示以原点为顶点，以
为焦点的抛物线；
（4分）
（2）由题设，可设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，又设
、
，
则由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
则
，
当且仅当
时等号成立，因此四边形
面积
的最小值为
.
（9分）
（3）当
时可设直线的方程为
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
当且仅当
时等号成立. （17分）
当
时，易知
，
，得
，
故当且仅当时四边形面积有最小值
.
（18分）