南海中学2008届高三立刻数学综合训练(八)
荆州中学、宜昌一中2008届高三年级十月联考数学试卷
一。选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在由正数组成的等比数列中,,则 ( )
A.6
B.
2.如果复数的实部与虚部互为相反数,则的值等于 ( )
A.0
B.
3.已知函数在点处连续,则 ( )
A.11 B. C.3 D.
4.已知函数满足,且时,,则
与的图像的交点的个数为 ( )
A.1
B.
5.“”是“函数在区间上为增函数”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数的图像是中心对称图形,其对称中心的坐标是 ( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列中,,公比为,且该数列各项的和为,表示该数列的前项和,且,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8.已知函数在R上可导且满足,则( )
A. B. C. D.
9.设函数的定义域为,若函数满足: (1)在内单调递增,(2)方程在内有两个不等的实根,则称为递增闭函数.若是递增闭函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D
10.已知集合,若集合,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中的横线上)
11.函数的反函数的图像与轴交于点,则方程在上的根是
12.数列是等差数列,,其中,则通项公式
13.已知函数在单调递增,且对任意实数恒有,若,则的取值范围是
14.若表示的各位上的数字之和,如,所以,记,则
15.函数,且满足,若,则集合中最小的元素是
三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分12分)已知:命题是的反函数,且;
命题集合,且,试求实数 的取值范围使得命题有且只有一个真命题
17.(本题满分12分)已知函数同时满足:1不等式 的解集有且只有一个元素;2在定义域内存在,使得不等式成立.设数列的前项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)设各项均不为零的数列中,所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数,令(为正整数),求数列的变号数
18.(本题满分12分)函数是定义域为的奇函数,且对任意的,都有成立,当时,.
(1)当时,求函数的解析式;
(2)求不等式的解集.
19.(本题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率与日产量(万件)之间大体满足关系:
(其中为小于6的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元)表示为日产量(万件)的函数
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
20.(本题满分13分)已知正项数列中,,点在抛物线 上;数列中,点在过点,以为方向向量的直线上.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,问是否存在,使成立,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(3)证明不等式:,,……
21.(本题满分14分)已知函数(为常数且)
(1)当时,求的单调区间
(2)若在处取得极值,且,而在上恒成立,求实数的取值范围(其中为自然对数的底数)
一.选择题
1~10 BADDA BCBCD
二.填空题
11.2 12. 13. 14.8 15.45
三.解答题
16.解:因为,所以 ………………………………(1分)
由得,解得 ………………………………(3分)
因为,故集合应分为和两种情况
(1)时, …………………………………(6分)
(2)时, ……………………………………(8分)
所以得 …………………………………………………(9分)
若真假,则…………………………………………………………(10分)
若假真,则 ……………………………………………………………(11分)
故实数的取值范围为或………………………………………(12分)
17.解:(1)由1的解集有且只有一个元素知
或 ………………………………………(2分)
当时,函数在上递增,此时不满足条件2
综上可知 …………………………………………(3分)
……………………………………(6分)
(2)由条件可知……………………………………(7分)
当时,令或
所以或……………………………………………………………(9分)
又时,也有……………………………(11分)
综上可得数列的变号数为3……………………………………………(12分)
18.解:(1)当时,………………………(1分)
当时,……………………(2分)
由,知又是周期为4的函数,所以
当时
…………………………(4分)
当时
…………………………(6分)
故当时,函数的解析式为
………………………………(7分)
(2)当时,由,得
或或
解上述两个不等式组得…………………………………………(10分)
故的解集为…………………(12分)
19.解:(1)当时,,……………………(2分)
当时,,
综上,日盈利额(万元)与日产量(万件)的函数关系为:
…………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知,当时,每天的盈利额为0……………………………(6分)
当时,
当且仅当时取等号
所以当时,,此时……………………………(8分)
当时,由知
函数在上递增,,此时……(10分)
综上,若,则当日产量为3万件时,可获得最大利润
若,则当日产量为万件时,可获得最大利润…………(12分)
20.解:(1)将点代入得
因为直线,所以……………………………………(3分)
(2) ,
当为偶数时,为奇数,……………(5分)
当为奇数时,为偶数,(舍去)
综上,存在唯一的符合条件…………………………………………………(7分)
(3)证明不等式即证明
成立,下面用数学归纳法证明
1当时,不等式左边=,原不等式显然成立………………………(8分)
2假设时,原不等式成立,即
当时
=
,即时,原不等式也成立 ………………(11分)
根据12所得,原不等式对一切自然数都成立 ……………………………(13分)
21.解:(1)由得……………………(1分)
又的定义域为,所以
当时,
当时,,为减函数
当时,,为增函数………………………(5分)
所以当时,的单调递增区间为
单调递减区间为…………………(6分)
(2)由(1)知当时,,递增无极值………(7分)
所以在处有极值,故且
因为且,所以在上单调
当为增区间时,恒成立,则有
………………………………………(9分)
当为减区间时,恒成立,则有
无解 ……………………(13分)
由上讨论得实数的取值范围为 …………………………(14分)