2008年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科) 2008.3
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要求的.
1. 设全集,集合,集合,则( )
A. B.
C. D.
2. 复数,,则复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 设是定义在上的奇函数,且当时,,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的公差,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 ( )
A. B. C. D.
6. 函数的零点所在的大致区间是 ( )
A. B. C. D.
7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位:分钟),按锻炼时间分下列四种情况统计:①0~10分钟;②11~20分钟;③21~30分钟;④30分钟以上.有10000名中学生参加了此项活动,下图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是6200,则平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的频率是 ( )
A.3800 B.
8. 如图,已知、,从点射出的光线经直线反向后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是 ( )
A. B. C. D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共30分.其中13~15小题是选做题,考生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分.
9. 在中,、分别为角、的对边,若,,,则边的长等于 .
10. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是
.(用数字作答)
11. 在中,两直角边分别为、,设为斜边上的高,则,由此类比:三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直,且长度分别为、、,设棱锥底面上的高为,则 .
12. 已知定义在区间上的函数的图像如图所示,对于满足的任意、,给出下列结论:
① ;
② ;
③ .
其中正确结论的序号是 .(把所有正确结论的序号都填上)
13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是 ,它与方程()所表示的图形的交点的极坐标是 .
14. (不等式选讲选做题)已知点是边长为的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为、、,则、、所满足的关系式为 ,的最小值是 .
15. (几何证明选讲选做题)如图,是的切线,切点为,直线与交于、两点,的平分线分别交直线、于、两点,已知,,则 , .
三、 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知向量,,函数.
(Ⅰ)求的最大值及相应的的值;
(Ⅱ)若,求的值.
17. (本小题满分12分)
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在
下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.
(Ⅰ)求小球落入袋中的概率;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记为落入袋中的小球个数,试求的概率和的数学期望.
18. (本小题满分14分)
如图所示的几何体中,平面,∥,,
,是的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知点、,是平面内一动点,直线、
的斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.
20. (本小题满分14分)
已知,(),直线与函数、的图像都
相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1.
(Ⅰ)求直线的方程及的值;
(Ⅱ)若(其中是的导函数),求函数的最大值;
(Ⅲ)当时,求证:.
21. (本小题满分14分)
如图,、、…、()是曲线:
()上的个点,点()在轴的正半轴上,且是正三角形(是坐标原点).
(Ⅰ)写出、、;
(Ⅱ)求出点()的横坐标关于的表达式;
(Ⅲ)设,若对任意的正整数,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
2008年深圳市高三年级第一次调研考试
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共30分.其中13~15小题是选做题,考生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分.
9. 10. 11.
12.②③ 13.,
14., 15.,
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 解:(Ⅰ)因为,,所以
.
因此,当,即()时,取得最大值;
(Ⅱ)由及得,两边平方得
,即.
因此,.
17. 解:(Ⅰ)记“小球落入袋中”为事件,“小球落入袋中”为事件,则事件的对立事件为,而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故
,
从而;
(Ⅱ)显然,随机变量,故
,
.
18. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系,
并设,则
(Ⅰ),,
所以,从而得
;
(Ⅱ)设是平面的
法向量,则由,及
,
得
可以取.
显然,为平面的法向量.
设二面角的平面角为,则此二面角的余弦值
.
19. 解:(Ⅰ)依题意,有(),化简得
(),
这就是动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)依题意,可设、、,则有
,
两式相减,得,由此得点的轨迹方程为
().
设直线:(其中),则
,
故由,即,解之得的取值范围是.
20. 解:(Ⅰ)依题意知:直线是函数在点处的切线,故其斜率
,
所以直线的方程为.
又因为直线与的图像相切,所以由
,
得(不合题意,舍去);
(Ⅱ)因为(),所以
.
当时,;当时,.
因此,在上单调递增,在上单调递减.
因此,当时,取得最大值;
(Ⅲ)当时,.由(Ⅱ)知:当时,,即.因此,有
.
21. 解:(Ⅰ),,;
(Ⅱ)依题意,得,,由此及得
,
即.
由(Ⅰ)可猜想:().
下面用数学归纳法予以证明:
(1)当时,命题显然成立;
(2)假定当时命题成立,即有,则当时,由归纳假设及
得,即
,
解之得
(不合题意,舍去),
即当时,命题成立.
由(1)、(2)知:命题成立.
(Ⅲ)
.
令(),则,所以在上是增函数,故当时,取得最小值,即当时,.
(,)
,即()
.
解之得,实数的取值范围为.