2005―2006学年度高三年级第一学期期末练习
数学试卷（理科）
YC
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与直线平行，则|AB|的值为 （ ）
A．6 B． C．2 D．不能确定
3．函数的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．2
4．已知夹角大小为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，给出下列四个命题
① ②
③若 ④
其中正确命题的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a>0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
7．一个三棱锥S―ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1、、3.已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 （ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
8．已知曲线，给出四下列四个命题
①曲线C与两坐标轴围成的图形面积不大于
②曲线C上的点到原点的距离的最小值为
③曲线C关于点（）中心对称
④当1时，曲线C上所有点处的切线斜率为负值
其中正确命题个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上）
9．抛物线R）的焦点坐标为 ，准线方程是 .
10．若实数①，则不等式组①表示的区域面积为 ，
的取值范围是 .
11．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B―AD―C为60°，则点A到BC的距离为 ，点D到平面ABC的距离为 .
12．下图中的多边形均为正多边形.图①中F1、F2为椭圆的焦点，M、N为所在边中点，则该椭圆的离心率e1的值为 ，图②中F1、F2为双曲线的焦点，M、N、P、Q分别为所在边中点，则该双曲线的离心率e2的值为 .
13．一个正方体内接于一个球，过球心作截面，则下图中截面的可能图形是 ，
其中过正方体对角面的截面图形为 .（把正确的图形的序号全填在横线上）
14．分段函数 可以表示为，同样分段函数
可以表示为）仿此，分段函数
可以表示为= ，分段函数
，可以表示为= .
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题共13分）
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 2sin2C=3cosC，c=，又△ABC的面
积为.
（I）角C的大小；
（II）a+b的值.
16．（本小题共14分）
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，AB=AC=AA1=a，∠BAC=90°，D为棱B1B的中
点.
（I）证明：A1D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A1C与C1D所成角的大小；
（III）求平面A1CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角的情况）.
17．（本小题共13分）
已知.
（I）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（II）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
18．（本小题共14分）
数列上.
（I）设，求证：数列是等比数列；
（II）设的通项公式；
（III）的前n项和，试比较的大小.
19．（本小题共13分）
已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）
（c>0），右准线为.过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长
PB交右准线l于M点.
（I）求双曲线的方程；
（II）若的面积S；
（III）若问是否存在实数，使得.若存在，求出的表达式；若不存在，请说明理由.
20．（本小题共13分）
设函数，其中实数A，B，C满足：
①， ②.
（I）求证：；
（II）.
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C
二、填空题（第一空2分，第二空3分，13题反之）
9． 10．
11． 12．
13．①②③；② 14．
三、解答题
15．解：（1）由已知得，……………………2分
（舍），………………………4分
在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分
（2）…………8分
又
……………………10分
……………………13分
16．[解法一]
（1）证：都为等腰直角三角形，
，………2分
又
……………………4分
（2）解：连AC1交A1C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF//C1D
是异面直线A1C与C1D所成的角（或补角）…………5分
在………………8分
则异面直线A1C与C1D所成角的大小为………………9分
（3）解：延长A1D与AB延长线交于G点，连结CG
过A作AH⊥CG于H点，连A1H，
平面ABC，（三垂线定理）
则是二面角A1―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分
在直角三角形ACG中，，
……………………11分
在直角三角形A1AH中，，………………13分
即所求的二面角的大小为…………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为，
又∵圆C：，
∴圆心C（－1，2）到切线的距离等于圆半径，
即：……………………4分
当截距为零时，设
同理可得
则所求切线的方程为：
或
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
……………………………………8分
∴动点P的轨迹是直线……………………10分
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值为点O到直线的距离………11分
可得：
则所求点坐标为………………………………13分
18．（1）证明：上
………………1分 ………2分
……………………4分
是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）可得，………………………………6分
所以 ……………………8分
（3）
=………………10分
当；…………………………11分
当………………12分
当用数学归纳法证明如下：
当
假设时成立
即
即
当
综上可知
…………………………14分
综上可知当；
当
19．解：（1）由题意知
则双曲线方程为：…………………………3分
（2）设，右准线，
设PQ方程为：
代入双曲线方程可得：
由于P、Q都在双曲线的右支上，所以，
…………………………4分
……4分
由于
由可得：…………………………6分
……………………………………7分
此时
（II）存在实数，满足题设条件.
的直线方程为：
令得 即
即
又
把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）
由（1）（5）得：……………（11分）
又
令……………………13分
故存在实数μ，满足题设条件.
20．证明：（I）
………………………………1分
又
……………………………………2分
………………4分
（II）当时，时，
∴只须证明当时，………………………………5分
由②，知A>0，…………………………………………6分
为开口向上的抛物线，其对称轴方程为
又……9分
，有
为[0，2]上的增函数.
时，有
即……………………………………………13分