2005―2006学年度高三年级期末练习
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．sin570°的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．若直线垂直，则实数a的值等于 （ ）
A．－1 B．4 C． D．
3．函数的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量a、b满足：|a|=2，|b|=1，（a－b）?b=0，那么向量a、b的夹角为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知两不重合直线a、b及两不重合平面α、β，那么下列命题中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．若椭圆则实数m等于 （ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，则其中至少有一个人解决这个问题的概率是 （ ）
A．P1+P2 B．P1?P2 C．1－P1?P2 D．1－（1－P1）（1－P2）
8．向量的变动范围（不含边界的阴影部分）是 （ ）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
9．抛物线的准线方程是y=2，则实数a的值为 。
10．函数的图象F按向量a平移后，得到图象F′的解析式为，则向量a的坐标为 。
11．圆上的动点P到直线的距离的最小值等于 。
点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角
B―AD―C′为60°，则折叠后点A到直线BC′的
距离为 ；二面角A―BC′―D的正切
值为 。
13．等腰直角三角形ABC的三个顶点在同一球面上，
∠BAC=90°，AB=AC=，若球心O到平面ABC
的距离为1，则该球的半径为 ；球的
表面积为 。
14．对任意实数三者中的最小值，那么的最大值是 。
三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（本小题共13分）
△ABC中，角A、B、C的对边分别是为，△ABC的面积为
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求a、b的值。
16．（本小题共14分）
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中点。
（Ⅰ）证明：A1C1//平面ACD；
（Ⅲ）证明：直线A1D⊥平面ADC。
17．（本小题共13分）
已知圆C：
（Ⅰ）求圆心C的坐标及半径r的大小；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（Ⅲ）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程。
18．（本小题共14分）
数列
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列{cn}的前n项和Sn。
19．（本小题共13分）
函数其中
（Ⅰ）证明：的极小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围。
20．（本小题共13分）
已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c,0）（c>0），右准线为l：过点F作直线交双曲线的右支于P，Q两点，延长PB交右准线l于M点。
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若的面积S；
（Ⅲ）若，问是否存在实数μ，使得：若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由。
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
二、填空题
9．－8 10．（－1，－2） 11． 12．（2分）；2（3分）
13．（3分） 14．3.5
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
………………4分
在三角形ABC中，C=60° ………………6分
（Ⅱ）∵ …………8分
又∵ ………………9分
∴
∴ ………………11分
∴
∴ ………………13分（少一组值扣1分）
16．[解法一]（Ⅰ）证：在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC//A1C1 ………………2分
又平面ACD ∴A1C1//平面ACD ………………4分
（Ⅱ）在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC ………………6分 又∠BAC=90° ∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 ………………8分
又A1D平面A1ABB1， ∴AC⊥A1D
∴异面直线AC与A1D所成的角大小为 ………………9分
（Ⅲ）∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …………11分 由（Ⅱ）知A1D⊥AC，
∴A1D⊥平面ACD ……………………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（Ⅰ）圆心坐标C（－1，2），半径。 ………………3分（圆心横纵坐标及半径各1分）
（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程 ………………4分
∵圆C：
∴圆心C（－1，2）到切线的距离等于圆半径，
即： ………………6分
∴a=－1或a=3，
所求切线方程为：
（Ⅲ）∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)
∴|PM|2=|PC|2－|CM|2 ………………10分
∴ ………………11分
所以点P的轨迹方程为 ………………13分
18．（Ⅰ）证明：∵
……………………1分
……………………3分
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列。 ………………4分
（Ⅱ）解： ………………5分
由（Ⅰ）得 …………7分
∴ ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ………………9分
利用错位相减法可得， ………………14分
19．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
又
可得 ………………4分
又
即
（0，x1）
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
+
0
－
0
+
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
所以为的极大值，为的极小值.……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
…………9分
……12分
……13分
20．解：（Ⅰ）由题意知
则双曲线方程为：……3分
（Ⅱ）设
设PQ方程为：代入双曲线方程可得：
由于P、Q都在双曲线的右支上，所以，
……4分
……5分
由于
由……6分
……7分
此时
……8分
（Ⅲ）存在实数，满足题设条件
……9分
把（3）（4）代入（2）得：……（5）
由（1）（5）得：……11分
，满足题设条件. ………………13分