理科数学试题卷　第页(共8页

上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学试题卷

命题人：黎金传　何耀煌　席米有　董乐华

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.

参考公式

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　球的表面积公式

　　P(A＋B)＝P(A)＋P(B)  S＝4πR2

如果事件A、B相互独立，那么  其中R表示球的半径

　　P(A?B)＝P(A)?P(B)  球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么   V＝πR3

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率  其中R表示球的半径

Pn(k)＝CPk(1－P)n－k

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z＝(其中i为虚数单位)，则|z＋1|等于

A.0　　　　　　　B.1　　　　　　　C.　　　　　　　D.2

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2.已知{an}为等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为

A.4  B.  C.－4  D.－

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3.(x－)9的展开式的第3项是

A.－84x3  B.84x3  C.－36x5  D.36x5

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4.函数y＝3sin(2x＋)的图象按向量a平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则向量a的坐标可能为

A.(－，0)  B.(－，0)  C.(，0)  D.(，0)

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5.如图，在△ABC中，tan ＝，?＝0，则过点C，以A，H为两焦点的双曲线的离心率为

A.  B.2  C.  D.3

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6.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为

A.  B.  C.  D.

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7.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为

A.至多一个  B.2个  C.1个  D.0个

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8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数f′(x)满足：f′(0)>0，若对任意实数x，有

f(x)≥0，则的最小值为

A.  B.3  C.  D.2

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9.已知平面α与β所成的角为80°，P为α，β外一定点，过点P的直线与α，β所成角都是30°，则这样的直线有且仅有

A.1条  B.2条  C.3条  D.4条

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10.已知函数f(x)＝x3－3x，过点(1，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则m的取值范围是

A.(－3，－2)  B.(－2,3)  C.(－1,2)  D.(－1,1)

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11.若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)的和不产生进位现象，则称n为“可连续”.例如：32是“可连续”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连续”，因23＋24＋25产生进位现象.如果自然数n∈(1000,10000)，那么，“可连续”自然数n的个数为

A.27  B.36  C.72  D.144

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12.如图，有一面墙(墙的长度足够长)，在墙边P、Q处各有一棵树与墙的距离均为2 m，P、Q两棵树之间的距离为a m(0<a<12)，不考虑树的粗细，现在想用16 m长的篱笆，借助这面墙围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃最大面积是S，若将这两棵树围在花圃内，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是

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第Ⅱ卷

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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.

13.△ABC中，三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知B＝60°，不等式－x2＋6x－8>0的解集为{x|a<x<c}，则b＝　　　　.

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14.已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤1，x，y∈R，(a，b)∈A}，则集合B所表示的图形的面积是　　　　.

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15.已知＋＝1(m>0，n>0)，当mn取得最小值时，直线y＝－x＋2与曲线＋＝1的交点个数为　　　　.

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16.对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数.若an＝f()，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则＝　　　　.

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三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知a＝(2cos ，tan(＋))，b＝(sin(＋)，tan(－))，令f(x)＝a?b.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)若x∈[0，)时，f(x)－m>1恒成立，求m的取值范围.

 

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18.(本小题满分12分)

美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只(假定购买时每支股票的基本情况完全相同).

(1)求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；

(2)求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；

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(3)由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，买入某只股票1000股(10手)，且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%(涨停)的概率为0.6.持平的概率为0.2，否则将下跌10%(跌停)，求此人今天获利的数学期望(不考虑佣金，印花税等交易费用).

 

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19.(本小题满分12分)

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，AC1＝2，侧面A1ACC1⊥底面ABC，

(1)求棱A1B1与平面AB1C所成角的大小；

(2)已知D点满足＝＋，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，确定P点的位置，若不存在，请说明理由.

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20.(本小题满分12分)

已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.

(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；

(2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，若Tn＋－<c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.

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21.(本小题满分12分)

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标准椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，M(，1)在椭圆上，且?＝0.

(1)求椭圆方程；

(2)若N在椭圆上，O为原点，直线l的方向向量为，若l交椭圆于A、B两点，且NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA、NB)，则称N点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点.

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22.(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a<0).

(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

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(3)设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ln an＋an＋2，n∈N*，求证：an≤2n－1.

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理科数学参考答案和评分标准

 

一、选择题　BCDC　BCBD　DADC

二、填空题　13.2　14.12＋π　15.2　16.100

三、解答题

17.解：当±≠kπ＋时，1分

有：f(x)＝2sin(＋)?cos ＋tan(＋)?tan(－)

＝sin x＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分

(1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.

又由±≠kπ＋，得x≠2kπ±.6分

∴f(x)的单调增区间是：[2kπ－，2kπ－)，(2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分

(2)当x∈[0，)时，x＋∈[，)，则sin(x＋)有最小值.10分

此时f(x)min＝1，故由题意得1－m>1⇒m<0.12分

18.解：(1)四人恰好买到同一只股票的概率P1＝6××××＝.4分

(2)(法一)四人中有两人买到同一只股票的概率P2＝＝.

四人中每人买到不同的股票的概率P3＝＝＝.

所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P＝P2＋P3＝＋＝＝.8分

(法二)四人中有三人恰好买到同一只股票的概率P4＝＝＝.

所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P＝1－P1－P4＝＝.8分

(3)每股今天获利钱数ξ的分布列为：

ξ

2

0

－2

P

0.6

0.2

0.2

 

所以，10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为

1000Eξ＝1000×[2×0.6＋0×0.2＋(－2)×0.2]＝800.12分

19.解：(法一)(1)∵AC1＝2，∴∠A1AC＝60°.侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，则A1O⊥平面ABC，可得：AO＝1，A1O＝OB＝，AO＝1，BO⊥AC.

以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.2分

则A(0，－1,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，B1(，1，).

∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).

设平面AB1C的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(－1,0,1)，4分

由cos〈，n〉＝－得：棱A1B1与平面AB1C所成的角的大小为arcsin .6分

(2)设存在点P符合，且点P坐标设为P(0，y，z)，7分

＝＋＝(－2，0,0)，∴D(－，0,0).

∴＝(，y，z).平面AB1C的法向量n＝(－1,0,1)，又DP∥平面AB1C，

∴?n＝0，得z＝，由＝λ得：∴y＝0，∴P(0,0，).10分

又DP⊄平面AB1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C，其坐标为(0,0，)，恰好为A1点.12分

(法二)(1)如图可得，B1C＝＝，△ABM中，得AM＝，

∴AB1＝，AC＝2，∴AC⊥B1C.∴S△AB1C＝.

设B到平面AB1C的距离是d，则有d＝＝.3分

设棱AB与平面AB1C所成的角的大小是θ，则sin θ＝＝，5分

又AB∥A1B1，∴A1B1与平面AB1C所成的角的大小是arcsin .6分

(2)＝＋，∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，8分

∴CDA1B1是平行四边形.∴A1D∥B1C，10分

又A1D⊄面AB1C，B1C⊂面AB1C，

∴A1D∥平面AB1C，故存在点P即点A1，使DP∥平面AB1C.12分

20.解：(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公式.

由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，等比数列{bn}的前三项是2,2＋d,4＋2d，

∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d＝±2.2分

∵an＋1>an，∴d>0.∴d＝2，∴an＝2n－1(n∈N*).4分

由此可得b1＝2，b2＝4，q＝2，∴bn＝2n(n∈N*).5分

(2)Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，①

当n＝1时，Tn＝＋＋＋…＋.　②

①－②，得：Tn＝＋2(＋＋…＋)－＝＋(1－)－.

∴Tn＝3－－＝3－.9分

∴Tn＋－＝3－<3.10分

∴满足条件Tn＋－<c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c＝3.12分

21.解：(1)在Rt△F1MF2中，|OM|＝＝2知c＝2，

则解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆方程为＋＝1.4分

(2)设N(m，n)(m≠0)，l为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由y＝x＋t与＋＝1得(＋)x2＋tx＋－1＝0，6分

由点N(m，n)在椭圆上知，＋＝代入得＋tx＋－1＝0，

∴x1＋x2＝－mnt，x1x2＝m2(－1)，①8分

∴kNA＋kNB＝＋＝

＝

将①式代入得kNA＋kNB＝，

又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得kNA＋kNB＝0，10分

∴n2＝1代入＋＝1得m2＝3，∴N(±，±1).12分

22.解：(1)f′(x)＝－(x>0).依题意f′(x)<0在x>0时有解，即ax2＋2x－1>0在x>0有解.则Δ＝4＋4a>0且方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正根.

此时，－1<a<0.4分

(2)a＝－，f(x)＝－x＋b⇔x2－x＋ln x－b＝0.

设g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)，则g′(x)＝.列表：

x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,4)

g′(x)

＋

0

－

0

＋

g(x)

?

极大值

?

极小值

?

∴g(x)极小值＝g(2)＝ln 2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，g(4)＝－b－2＋2ln 2.6分

∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，

则解得：ln 2－2<b≤－.9分

(3)设h(x)＝ln x－x＋1，x∈[1，＋∞)，则h′(x)＝－1≤0，

∴h(x)在[1，＋∞)为减函数，且h(x)max＝h(1)＝0，故当x≥1时有ln x≤x－1.

∵a1＝1，假设ak≥1(k∈N*)，则ak＋1＝ln ak＋ak＋2>1，故an≥1(n∈N*).

从而an＋1＝ln an＋an＋2≤2an＋1，∴1＋an＋1≤2(1＋an)≤…≤2n(1＋a1).

即1＋an≤2n，∴an≤2n－1.14分