湛江一中2008―2009学年度第二学期模拟考试题
高三级理科数学试卷
一、选择题:(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合若,则实数m的值为
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.若复数,则|z|的值为
A. B. C. D.2
3.已知数列{}的通项公式是,若对于m,都有成立,则实数k的取值范围是
A.k >
0
B.k > -
4.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角,向量,则与的夹角是
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
5.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,则下列结论正确的是
A.展开式中共有八项 B.展开式中共有四项为有理项
C.展开式中没有常数项 D.展开式中共有五项为无理项
6.如图正方体AC中P为棱BB的中点,则在平面BCCB内过点P
与直线AC成
A.0
B.
7.已知椭圆(a>b>0)的短轴端点分别为B、B,左、右焦
点分别为F、F,长轴右端点为A,若,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知不等式,对任意恒成立,则a的取值范围为( )
A. B.
C.(1,5) D.(2,5)
二、 填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.已知函数的值为
10.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,
则判断框中的整数M的值是 .
11.若数列{}满足,
则数列{}为“调和数列”,已知数列{}为“调和数列”,
且,则的最大值是_______。
12.已知满足条件,
则的取值范围是_______________。
选做题:(13~15题,考生只能从中选做两题,三题都做的只算前两题的分)
13.两直线的位置关系是:___________________(判断垂直或平行或斜交)。
14. 若的最小值为3, 则实数的值是________
15.如图,⊙中的弦与直径相交于,为延长线上一点,为⊙的切线,为切点,若,则的长为 .
三、解答题:(本大题共6小题,共80分,)
16.(本题满分12分)
在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
(1)求角A;
(2)若,求角C的取值范围。
17.(本小题满分12分)
在奥运会射箭决赛中,参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
(Ⅰ)通过抽签将他们安排到1~4号靶位,试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率;
(Ⅱ)记1号、2号射箭运动员射箭的环数为(所有取值为0,1,2,3...,10)分别为、.根据教练员提供的资料,其概率分布如下表:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0.06
0.04
0.06
0.3
0.2
0.3
0.04
0
0
0
0
0.04
0.05
0.05
0.2
0.32
0.32
0.02
①若1,2号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中9环的概率;
②判断1号,2号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由.
18.(本小题满分14分)
如图,在梯形ABCD中∥,,平面平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,
(Ⅰ)求证:平面ACFE;
(Ⅱ)求二面角B―EF―D的大小的余弦值..
19.(本题满分14分)设椭圆的两个焦点是,且椭圆上存在点,使 .
(1)求实数的取值范围;
(2)若直线与椭圆存在一个公共点E,使得|EF|+|EF|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程;
(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两A,B,满足,且使得过点两点的直线NQ满足?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由
20. (本题满分14分)设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)判断方程的实数解的个数,并加以证明。
21. (本题满分14分) 已知定义域在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意的实数,总有恒成立。
(1)求的值;
(2)若=1,且对任意正整数n,有,记
,比较与T的大小关系,并给出证明;
1-15CBDAC CDB 0 5 100 [3.9] 垂直 2或8
16.⑴ ∵ ,……………………………… 2分
又∵ ,∴ 而为斜三角形,
∵,∴. ……………………………………………………………… 4分
∵,∴ . …………………………………………………… 6分
⑵∵,∴ …10分
即,∵,∴.…………………………………12分
17.(Ⅰ)从4名运动员中任取两名,其靶位号与参赛号相同,有种方法,另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种,所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 ……………………………4分
(Ⅱ)①由表可知,两人各射击一次,都未击中9环的概率为P=(1-0.3)(1-0.32)=0.476至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524………………………8分
②
所以2号射箭运动员的射箭水平高…………………………………12分
18.证明:(Ⅰ)在梯形ABCD中,∵,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
且
∴,∴
又∵平面平面ABCD,交线为AC,∴平面ACFE…………………6分
(Ⅱ)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH,∵DE=DF,∴ ∵平面ACFE,∴ 又∵,∴又∵,∴
∴是二面角B―EF―D的平面角.
在△BDE中∴
∴,∴又∴在△DGH中,
由余弦定理得即二面角B―EF―D的大小余弦值...14分
19.解:(1)由椭圆定义可得,可得
而,,解得 (4分)
(或解:以为直径的圆必与椭圆有交点,即
(2)由,得
解得
此时
当且仅当m=2时, (9分)
(3)由
设A,B两点的坐标分别为,中点Q的坐标为
则,两式相减得
①
且在椭圆内的部分
又由可知
②
①②两式联立可求得点Q的坐标为
点Q必在椭圆内
又 (14分)
20.解:(1)
故……………………………4分
(2)
故
由此猜测
下面证明:当时,由
得
若
当
当时,
当时,
总之故在(- (10分)
又
所以当时,在(-1,0)上有唯一实数解,从而在
上有唯一实数解。
综上可知,. (14分)
21.解:(1)令
令
由①②得 (6分)
(2)由(1)可得
则
又
n
又
………………14分