绝密★启用前（命题人：荣培元 审题人：杨少平）
湖北省荆州中学2009届高三5月模拟考试
数 学（文史类）
说明：本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
都是非零向量，命题
，命题
与
夹角为钝角.则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．前段时间，三鹿奶粉添加三聚氰胺的问题引起全社会的关注.某市质量监督局为了保证人民的饮食安全，要对超市中奶粉的质量进行专项抽查.已知该地区超市中卖的各种类型的奶粉的分布情况如下：老年人专用奶粉300种，普通奶粉240种，婴幼儿奶粉360种，现采用分层抽样的方法抽取150种进行检验，则这三种型号的奶粉依次应抽取（ ）
A．
种，
种，
种 B．种，
种，
种
C．
种，
种，
种
D．
种，
种，
种
4．有下列命题：①已知
，若
∥平面
，
∥平面，则
∥平面.
②已知和直线
，若
则
.③已知直线
和平面，
是平面内任意一条直线，若∥，则∥.④已知直线
和平面
，若
，则
. 其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．
5．用与球心距离为
的平面去截球，所得截面面积为
，则截面直径的两个端点的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D． 
6．过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点，它们的横坐标之和为
，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
7．函数
的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
8．一次演讲比赛中，需要安排
名选手的出场顺序，方法是按照姓氏笔画的多少（由少到多）安排，如姓氏笔画数相同，则顺序任意.统计发现，10名选手中姓氏笔画为4画的有2人，5画的有3人，6画的有4人，7画的有1人，则不同的出场顺序共有（ ）
A．24种 B．48种 C．144种 D．288种
9．定义在R上的函数
为奇函数，且
为偶函数.记
，若
，则一定有（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
10．函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D． 
第 Ⅱ 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．设
，若
，且
，则在
的展开式的各项系数中，最大系数的值是_______________．
12．设双曲线
的两条渐近线与左准线围成的三角形区域（包含边界）为
为
内的一个动点，则目标函数
的最大值为______．
13．用
表示等差数列
的前
项和.若
，
则此等差数列的项数＝_____．
14．在中，
，其所在平面外一点
到
三个顶点的距离都是25，则点到平面
的距离为__________．
15．已知
，则
的值为 ，
的值为
．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题12分）已知
.其中
．
（1）若
，求
的值；
（2）设
，求
的最大值．
17．（本题12分）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
与平面所成的角为
，
为
的中点.
（1）若
为线段上的一点且
,
求证：
；
（2）求点
到平面
的距离；
（3）在线段上是否存在一点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
18．（本题12分）已知函数
在点
处的切线方程为
．
（1）求的单调区间；
（2）若不等式
（O为原点）在
上恒成立，求实数的
的取值范围．
19．（本题12分）有一种游戏，要求游戏者从一个不透明的箱子中摸球，箱子中装有6个不同编号的白球和个
不同编号的黄球（这些球外形相同），操作一次就是从中摸出两球，若摸出的两球颜色不同，该次操作得
分；若摸出的两球颜色相同，该次操作得
分.一个人操作若干次，如果总得分恰为分，就称游戏“获胜”．
（1）若游戏参与者只有一次操作的机会，他“获胜”的概率为.试用表示，并求为何值时，最大？
（2）若某个人连续操作四次（每次操作后把球放回），问为何值时，他“获胜”的概率最大？
20．（本题13分）已知椭圆
，过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点．
（1）若与
轴交于点
，且
，求直线的方程；
（2）设为椭圆上一点，且
（O为原点），
，求实数的值.
21．（本题14分）已知数列
对任意正整数，都有
，
，且
,
.
（1）求证：存在实数
，使数列
是等差数列；
（2）求
的通项公式；
（3）求证：当
时，
．
绝密★启用前（命题人：荣培元 审题人：杨少平）
2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
A
B
D
D
C
A
二、填空题：
11. 20 12. 4 13. 22 14. 24 15. 
三、解答题：
16.解：（1）由
得
………………………………………2分
…………………………6分
（2）
…………………………10分
……………12分
17.解：（1）取SA的中点H，连结EH,BH
E是SD的中点
四边形EFBH为平行四边形
又
………………………4分
（2）
以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，如图所示建立直角坐标系，
则
设
是平面
的法向量，则
取
则
到平面的距离为
…………………………8分
（3）设
，则
设
是平面
的法向量，则
取
由
得
， 故存在G点满足要求，
.
…………………………12分
18.解：
由已知，得
…………………………3分
（1）
由
，得
或
由
，得
的递增区间是
，递减区间是
……………………6分
（2）不等式即 
由
，得
又
在
内最大值为6，最小值为－14
的取值范围为
…………………………12分
19.解：（1）
…………………………2分
随
的增大而增大
当
时，
…………………………6分
（2）连续操作四次“获胜”的概率记作
，则
当且仅当 
即
时取“＝”
由
，得
当
时，“获胜”的概率最大.
…………………………12分
20.解：设A、B的坐标分别为
的方程为：
（1）N点坐标
所求的方程为：
…………………………6分
（2）由
得 
，
， 
设
点坐标为
， 显然 
…………………………13分
21.解：（1）欲使
为等差数列，只需
即 
令
得 
存在实数，使是等差数列.
…………………………3分
（2）
是等差数列，
…………………………5分
故
…………………………8分
（3）当
时，
又
，
左式
.
…………………………14分