湖南省十二所重点中学2009年高三第二次联考数学试卷(文科)
总分:150分 时量:120分钟 2009年4月11日
联合命题
由
石门一中;澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的)
1、已知集合则= ( )
试题详情
A. B. C. D.
2、设条件;条件,则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、 ( )
A、 B、- C、 D、-
4、已知直线、,平面,则下列命题中假命题是 ( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,,,则
5、 ( )
A、 B、 C、 D、
6、若不等式组,表示的平面区域是一个三角形区域,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 或
7、 ( )
8、对于区间上有意义的两个函数与,如果对于区间中的任意数均有,则称函数与在区间上是密切函数,称为密切区间.若与在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是( )
二、填空题:(本大题7小题,每小题5分,共35分)
9、
10、某人5次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为m,n,5,6,4。已知这组数据的平均数为5,方差为2,则?m-n?的值为 . 4
11、
――――――
12、已知数列{an}的前三项依次是-2,2,6,前n项和Sn是n的二次函数,则a100=_______
13、将有编号的7个球全部投入到甲、乙两个盒子中,每个盒子中至少投入2个球,那么不同的投入方法有
(用数字作答)
14、已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离是球直径的,且则该球的表面积为 .
其中正确命题的序号是____________ (把你认为正确的都填上)
三、解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程.)
17、(本小题满分12分)
某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表:
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
(Ⅰ)从这50位学生中随机选出2人,求这2人血型都为A型的概率;
(Ⅱ)从这50位学生中随机选出2人,求这2人血型相同的概率;
18、(本小题满分12分)
如图,已知在直四棱柱中,,
,.
(I)求证:平面;
(II)求二面角的余弦值.
19、(本小题满分13分)
对于数列定义数列为的“和数列”
(1)若的“和数列”的通项为2n+1,,求,并写出的通项公式。(不必证明)
(2)若的“和数列”的通项为,数列满足,求
21、 (本小题满分13分)
设函数 (>0)
(Ⅰ)若在时,有极值,求的单调区间。
(Ⅱ)证明:的图像上存在着与直线垂直的切线。
(Ⅲ)若在处取得极值,且,求b的取值范围。
湖南省2009届高三 十二校联考 第二次考试
数学试卷(文科)
三、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的)
1、已知集合则= ( B )
2、设条件;条件,则是的 ( A )
3、 ( D )
4、已知直线、,平面,则下列命题中假命题是 ( C )
5、 ( B )
6、若不等式组,表示的平面区域是一个三角形区域,则的取值范围是 ( D )
7、 ( C )
8、对于区间上有意义的两个函数与,如果对于区间中的任意数均有,则称函数与在区间上是密切函数,称为密切区间.若与在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是( C )
四、填空题:(本大题7小题,每小题5分,共35分)
12、已知数列{an}的前三项依次是-2,2,6,前n项和Sn是n的二次函数,则a100=_______ 394
(用数字作答) 112
其中正确命题的序号是____________ (把你认为正确的都填上) ②③
…………………….3分
…………………….6分
……………………10分
……………………12分
解:(Ⅰ)记“这2人血型都为A型”为事件A,那么,
即这2人血型都为A型的概率是. ┅┅┅┅6分
(Ⅱ)记“这2人血型相同”为事件B,那么,
所以这2人血型相同的概率是. ┅┅┅┅12分
解法一:
(I)设是的中点,连结,则四边形为正方形,
.故,,,,即. ………3分
又, ………4分
平面, ………5分
(II)由(I)知平面,
又平面,,
取的中点, 连结,又,则.
取的中点,连结,则,.
为二面角的平面角. ……….8分
连结,在中,,,
取的中点,连结,,
在中,,,. ……….10分
.
二面角的余弦值为. ………..12分
解法二:
(I)以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,. ………..2分
,, ………..3分
又因为 所以,平面. ………..5分
(II)设为平面的一个法向量.
由,,
得 取,则. ………..7分
又,,设为平面的一个法向量,
由,,得取,则, ………..9分
设与的夹角为,二面角为,显然为锐角,
, ………..12分
解:(1)依题意有:
,令,求得 ………………………………2分
…………………………………………………………5分
(2)由已知得
……………… ………………7分
………………8分
即 代入得
………………10分
又 是以1为首项,-2为公比的等比数列。
………………13分
解:
………………2分
又 ………………4分
………………5分
(2)
………………7分
() ………………8分
= ………………11分
,
解:(Ⅰ)
由题意可知 即 …………………………1分
解得 舍去) ………………………………………2分
此时,
令>0得>1或<1
<0得 1<<1 …………………………………………3分
所以的递增区间为(∞,1)、(1,+∞)
递减区间为(1,1) ………………………………………4分
(Ⅱ)证明:①当时,直线,则图像上与垂直的切线斜率为0.
令>0恒成立,方程有解。 ……………………5分
②当时,直线的斜率为,则与垂直的切线斜率为
令即
>0恒成立,方程有解。
综上所述:的图像上存在着与垂直的直线。 ……………………7分
(Ⅲ)由题意可知,为的两根
从而 ………………………………………………9分
由得 0< ………………………………………………………………10分
设
令则 ……………………………………………………………11分
故在递增,递减, 从而在上的极大值为
即最大值为,且最小值为0,则
所以b的取值范围为 ………………………………………………13分