湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试
数 学 试 题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.命题p:|x|<1,命题q:,则是成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界),设,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m、n满足( )
A.m>0, n>0 B.m>0, n<
3.设复数,则展开式的第五项是( )
A.-2i B.-21i C.35 D.-35i
4.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为,若,则等于( )
A.16 B.
5.已知函数在上单调递增,且在这个区间上的最大值为,则实数的一个值可以是( )
A. B. C. D.
6.点P在直径为的球面上,过P作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段),若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长之和的最大值是( )
A.6 B. C. D.
7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A. B. C. D.
8.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且,若函数对所有的都成立,则当时,t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知中,AB=2,BC=1,,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2,则三棱锥P―ABC的体积是( )
A. B. C. D.
10.已知,则满足条件的点(x, y)所形成区域的面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.)
11.定义一种运算“*”,它对正整数n满足:
(1)2*1001=1;
(2). 则2008*1001的值是________________.
12.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成_______个数字不重复且2,3相邻的四位数(用数字填空).
13.有一解三角形的题因纸张破损,有一条件不清,且具体如下:在中,已知,____________,求角A. 经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=60°,试将条件补充完整.
14.设f(x)是定义在R上的奇函数,在上有且,则不等式的解集为_________.
15.关于函数(a为常数,且a>0)对于下列命题:
①函数f(x)的最小值为-1; ②函数f(x)在每一点处都连续;
③函数f(x)在R上存在反函数; ④函数f(x)在x=0处可导;
⑤对任意的实数x1<0, x2<0且x1<x2,恒有.
其中正确命题的序号是_____________.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分12分)一个袋子中装有m个红球和n个白球(m>n≥4),它们除颜色不同外,其余都相同,现从中任取两个球.
(1)若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证:m必为奇数;
(2)若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率,求满足m+n≤20的所有数组(m, n).
17.(本小题满分12分)已知A、B、C为的三个内角,向量,且
(1)求的值;
(2)求C的最大值,并判断此时的形状.
18.(本小题满分12分)随着机构改革的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元. 据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的. 为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
19.(本小题满分12分)四棱锥S―ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD. 已知
(1)证明;
(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
20.(本小题满分13分)过抛物线的焦点F作直线l与抛物线交于A、B.
(1)求证:不是直角三角形;
(2)当l的斜率为时,抛物线上是否存在点C,使为直角三角形且B为直角(点B位于x轴下方)?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分14分)对于函数f(x),若存在,使成立,则称x0为f(x)的不动点. 如果函数有且仅有两个不动点0,2,且
(1)试求函数f(x)的单调区间;
(2)已知各项不为零且不为1的数列{an}满足,求证:;
(3)设,为数列{bn}的前n项和,求证:
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A
11.31003 12.60 13. 14. 15.①②⑤
16.解:(1)设“取出两个红球”为事件A,“取出一红一白两个球”为事件B,则
……2分
由题意得
则有,可得……4分
∵,∴m为奇数……6分
(2)设“取出两个白球”为事件C,则……7分
由题意知,即有
可得到,从而m+n为完全平方数……9分
又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20
得到方程组:;
解得:,(不合题意舍去)……11分
故满足条件的数组(m, n)只有一组(10,6)……12分
17.解:(1)∵,……2分
即
即……4分
由于,故……6分
(2)由……8分
……10分
当且仅当tanA=tanB,即A=B时,tanC取得最大值.
所以C的最大值为,此时为等腰三角形. ……12分
18.解:设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,
则……4分
依题意
又140<2a<420, 70<a<210. ……6分
(1)当时,x=a-70, y取到最大值;……8分
(2)当时,, y取到最大值;……10分
答:当时,裁员a-70人;当时,裁员人……12分
19.解法一:(1)作,垂足为O,连结AO,由侧面底面ABCD,得底面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO. 又,故为等腰直角三角形, 由三垂线定理,得
(2)由(1)知,依题设,故,由,得 所以的面积 连结DB,得的面积 设D到平面SAB的距离为h,由,
得,解得
设SD与平面SAB所成角为,则 所以直线SD与平面SAB所成的角为
解法二:(1)作,垂足为O,连结AO,由侧面底面ABCD,得平面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO. 又,为等腰直角三角形,
如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O―xyz, ,所以
(2)取AB中点E,. 连结SE,取SE中点G,连结OG,
,OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直,所以平面SAB.的夹角记为,SD与平面SAB所成的角记为,则与互余.
所以直线SD与平面SAB所成的角为
20.解:(1)∵焦点F为(1,0),过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为,代入抛物线得:,则有……2分
进而……4分
又,
得为钝角,故不是直角三角形.……6分
(2)由题意得AB的方程为,
代入抛物线,求得……8分
假设抛物线上存在点,使为直角三角形且C为直角,此时,以AC为直径的圆的方程为,将A、B、C三点的坐标代入得:
整理得:……10分
解得对应点B,对应点C……12分
则存在使为直角三角形.
故满足条件的点C有一个:……13分
∴
令
由
∴当时,h(t)单调递增,∴h(t)>h(1)=0
于是……②
由①、②可知……10分
所以,,即……11分
(3)由(2)可知
在中令n=1, 2, 3, …, 2007,并将各式相加得
即……14分