海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（文科） 2008.1
学校 班级 姓名
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（A）
（B）- （C）
（D）－
（2）过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )
（A）-
（B） （C）3 （D）-3
（3）已知函数y=log2 x的反函数是y=f -1(x),那么函数y=f -1(x)+1的图象大致是 ( )
（4）已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+ sinθ),且a∥b,则锐角θ等于 ( )
（A）30° （B）45° （C）60° （D）75°
（5）设m、n是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：
①若∥, ∥,则∥ ②若⊥, m∥,则m⊥
③若m⊥, m∥,则⊥ ④若m∥n，n?，则 m∥
其中真命题的序号是 ( )
（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③
（6）在等差数列｛an｝中，若a1+a7+a8+a12=12,则此数列的前13项之和为 ( )
（A）39 （B）52 （C）78 （D）104
（7）已知点A(0,b),B为椭圆
+
=1(a>b>0)的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ( )
（A）
（B） （C）
（D）
（8）已知函数f(x)= 
-1的定义域是［a,b］(a,b,∈Z),值域是［0,1］,那么满足条件
的整数数对(a,b)共有 ( )
（A）2个 （B）3个 （C）5个 （D）无数个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.
（9）双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离是
.
（10）把函数y=sin2x的图象按向量a=(－
,0)平移得到的函数图象的解析式为 .
（11）在正方体ABCD-A1B
角的余弦值是 .
（12）已知函数f(x)= 那么不等式f(x)<0的解集为 .
 |
（13）设不等式组 所表示的平面区域为S，则S的面积为 ;若A,B
为S内的两个点，则｜AB｜的最大值为 .
（14）平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三点，最多可确
定 个平面;任取四点最多可确定 个四面体.(用数字作答)
（15）(本小题共13分)
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
已知函数f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(
)=2且a2=bc，试判断
△ABC的形状.
（16） (本小题共13分)
设数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=1,且数列｛Sn｝是以2为公比的等比数列.
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a3+…+a2n+1.
（17）(本小题共14分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正
方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB,点M是SD的中点，
AN⊥SC,且交SC于点N.
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM;
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小;
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN.
（18）（本小题共12分）
某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.
(Ⅰ)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率;
(Ⅱ)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率;
(Ⅲ)求这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率.
（19）(本小题共14分)
已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.
（Ⅰ）求抛物线S的方程;
（Ⅱ）若O是坐标原点，P,Q是抛物线S上的两个动点，且满足OP⊥OQ.试说明动直线PQ是否过定点.
（20）（本小题共14分）
已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n, 0) , f′( x)是f(x)的导函数，且
f′(0)=2n,(n
N*).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若数列｛an｝满足
f′(
),且a1=4,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列｛an｝，求证a1+a2+a3+…+ak<5(k =1,2,3…).
海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（文科）
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
A
B
B
D
A
C
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9)2 (10)y=sin(2x+
)
(11) 
(12)(-∞,-1)∪(-1,1) (13)16, 
(14)72,120
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+2
sinxcosx-sin2x
=sin2x+cos2x……………………………………………………4分
＝2sin(2x+
)………………………………………………………5分
∴T=
, f(x)∈［-2,2］ ……………………………………………7分
（Ⅱ）由f(
)=2，有f()=2sin(A+)=2, ………………………………8分
∴sin(A+)=1.
∵0<A<,∴A+=
,即A=.……………………………………10分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,∴(b-c)2=0. ………………12分
则b=c,∴B=C=.
∴△ABC为等边三角形. ……………………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn=2n-1.……………………………………………………………2分
又当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. …………………………5分
∴an=
………………………………………………7分
（Ⅱ）a3,a5,…,a2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列，…………9分
∴a3+a5+…＋a2n+1=
…………………………11分
∴a1+a3+…＋a2n+1=1+
…………………………13分
（17）（共14分）
方法一：
（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E,连结ME.…………………………………1分
∵ABCD是正方形,∴E是BD的中点.∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.
∴ME∥SB.………………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM, ………………………………………3分
∴SB∥平面ACM.………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：取AD中点F,则MF∥SA.作FQ⊥AC于Q，连结MQ. ………5分
∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影.
∵FQ⊥AC,
∴MQ⊥AC.
∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角.………………………………………7分
设SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=
SA=
,FQ=DE=
a,
∴tanFQM=
∴二面角D-AC-M的大小为arctan
. ………………………………………9分
（Ⅲ）证明：由条件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.…………10分
又∵SA=AD,M是SD的中点，∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC. ………………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. …………………………………14分
方法二：
解：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐
标系A-xyz, ……………………………5分
由SA=AB,故设AB=AD=AS=1,则
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D(1,0,0),S(0,0,1),M（，0，）.
∵SA⊥底面ABCD,
∴
是平面ABCD的法向量，
=(0,0,1).
设平面ACM的法向量为n=(x, y, z),
=(1,1,0), 
=（
），………………………………………………7分
 |
令x=1,则n=(1,-1,-1). …………………………………………………………8分
∴cos＜, n＞= = =
∴二面角D-AC-M的大小为arccos
.………………………………………9分
（Ⅲ）∵=（，0，），
=(-1,-1,1),…………………………………………10分
∴? = -+=0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.又SC
平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………………………………………14分
（18）（共12分）
解：(Ⅰ)设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A,………1分
P(A)= 
(0.3)3(0.7)=0.0756
…………………………………………4分
答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为0.0756.
(Ⅱ)设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B,………5分
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704…………………………………………8分
答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为0.8704.
(Ⅲ)设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C, …9分
因为有30%的家庭订阅了A报,有60%的家庭订阅了B报，
有20%的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭
有30%.
所以P(C)= 
(0.3)2(0.7)2=0.2646
…………………………………12分
答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为0.2646.
注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30%，后面计算有误，给到10分.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设抛物线S的方程为y2=2px.…………………………………………1分
由
可得2y2+py-20p=0.……………………………………3分
由Δ>0,有p>0,或p<-160.
设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=
.
∴x1+x2=（5-
）+（5-
）=10-
=10+
.…………………………5分
设A(x3,y3)，由△ABC的重心为F（，0）,则
∴x3=
∵点A在抛物线S上，∴（）2=2p（
）,∴p=8.…………………6分
∴抛物线S的方程为y2=16x.……………………………………………………7分
(Ⅱ)当动直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.………
……………………………………………………………………………………8分
设P(xp, yp),Q(xQ, yQ),∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
∴
?
=-1，∴xP xQ
+ yP yQ=0. …………………………………………10分
将y=kx+b代入抛物线方程，得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=
.
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴动直线方程为y=kx-16k=k(x-16).
此时动直线PQ过定点（16,0）.………………………………………………12分
当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又OP⊥OQ,∴△POQ为等腰直角三角形.
由
得到P(16,16),Q(16,-16).
此时直线PQ亦过点（16,0）. …………………………………………………13分
综上所述，动直线PQ过定点M(16,0). ………………………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知，可得f '(x)=2ax+b, …………………………………………1分
∴
解之得a=.…………………………………………3分
（Ⅱ）∵
∴
由
=2×1
=2×2
=2×3
…
累加得
=n2-n(n=2,3…).………………………………………………6分
∴an=
（n=2,3…）.
当n=1时，
………………………………………………7分
∴an=
（n=1,2,3…）.……………………………………………8分
（Ⅲ）当k=1时，由已知a1=4<5显然成立;………………………………………9分
当k≥2时,ak=
<
(k≥2)……………………11分
则a1+a2+a3+…+ak<4+［(1-)+(
)+…+ (
)］=5-
<5
………………………………………………………………………………13分
综上，a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…)成立. ………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.