2008年福州市高三第二次质检
数学(文科)试卷
(考试时间：120分钟；满分150分)
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）．
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
.
球的表面积公式
,其中R表示球的半径.
球的表体积公式
,其中R表示球的半径.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1．不等式
的解集是（ ）.
A．（－3，1）
B．（1，＋
）
C．（－，-3）
（1，＋） D．（－，－1）（3，＋）
2．设集合
若
，则
的范围是 ( )
A．
B. 
C. 
D. 
3. 设
为两个平面，
为两条直线，且
，
，有如下两个命题：①若
，则
；②若
，则
，那么（ ）.
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是真命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题
4. 若函数
的反函数图象过点（1，5），则函数的图象必过点（ ）.
A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）
5. 已知
的展开式中，二项式系数和为
，各项系数和为
，则
（ ）
Ａ．-2 Ｂ．2 Ｃ．-3 Ｄ．3
6. 在等差数列
中: 
,则
（ ）
A. 40 B
7. 直角坐标系
中，
，若三角形
是直角三角形，则
的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
8. “
”是“
”的（ ）
Ａ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件
9. 如果把圆
沿向量
平移到
,且与直线
相切,则
的值为（ ）.
A.2或－
B.2或 C.－2或 D.－2或－
10. 某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）.
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
11. 已知函数
，在区间
上有最小值，则函数
在区间上一定（ ）.
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
12. 在平面直角坐标系中，
，映射
将平面上的点
对应到另一个平面直角坐标系
上的点
，则当点
沿着折线
运动时，在映射的作用下，动点
的轨迹是（ ）.
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
13. 在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域面积是 ．
14. 在
中，
，
且的面积为
，则
．
15. 一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ．
16. 已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx
，且f(0)=
，f(
)=
.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？
18．（本小题满分12分）
三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为
、
、
.
（Ⅰ）一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？
（Ⅱ）用随机变量
表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值.求证的取值为1或3，并求
时的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱A1B
（Ⅰ）求
与平面A
（Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；
（Ⅲ）点F是线段AC的中点，证明：EF⊥平面A1BD.
20．（本小题满分12分）
数列
的前
项和为
，满足关系：
.
(Ⅰ)求的通项公式：
(Ⅱ)设
数列
的前项和为
，求.
21． （本小题满分12分）
设
是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，
+43222233．
(Ⅰ) 若在
上为增函数，求
的取值范围；
(Ⅱ) 是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线
上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2
（Ⅰ）证明：动点P的轨迹Q是双曲线；
（Ⅱ）过点B的直线l与轨迹Q交于两点
.试问x轴上是否存在定点C，使
为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.
2008年福州市高三第二轮质检
一.选择题 1-5 6-10 11-12 CBDCB DBAAC AA
二．填空题 13. 1 ; 14. 8 ; 15. 
; 16. -1
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由f(0)=
，得=，∴
，则a=.
由f(
)=
，得+
-=，∴b=1，…………2分
∴f(x) =cos2x+sinxcosx -=cos2x+sin2x=sin(2x+
).…………4分
（Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).
又由
+2kπ≤2x+≤
+2kπ，得
+kπ≤x≤
+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．?…………8分
（Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+
)，
∴函数f(x)的图象右移后对应的函数可成为奇函数．…………12分
18．解：（I）一次射击后，三人射中目标分别记为事件A1，A2，A3，
由题意知A1，A2，A3互相独立，且
,…………2分
.…………5分
∴一次射击后，三人都射中目标的概率是
.…………6分
（Ⅱ）证明：一次射击后，射中目标的次数可能取值为0、1、2、3，相应的没有射中目标的的次数可能取值为3、2、1、0，所以
可能取值为1、3, …………9分
则
）+
.………12分
19．解：（Ⅰ）连接A
∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A
∴
为
与平面A
.
∴
与平面A
.………3分
（Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
，
.……7分
即二面角B―A1D―A的大小为
.……………………8分
（Ⅲ）证明：∵A1B
∵由（Ⅰ）BC⊥平面A
∵EF在平面A
∴C
同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一……………………3分
（Ⅱ）∵A1B
AC⊥CB，D、E分别为C
建立如图所示的坐标系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A1（0，2，2），
D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分
，设平面A1BD的法向量为
，
.…………6分
平面ACC
=（1，0，0），
.………7分
即二面角B―A1D―A的大小为
.…………………8分
（Ⅲ）证明：∵F为AC的中点，∴F（0，1，0），
.……10分
由（Ⅱ）知平面A1BD的一个法向量为
，∴
//n . ……11分
EF⊥平面A1BD.…………………………………12分
20．解：(Ⅰ) 据题意：
，
.
两式相减,有：
，…………3分
.…………4分
又由S2=
解得
. …………5分
∴是以
为首项，为公比的等比数列，∴
.…………6分
(Ⅱ) 
………8分
…………12分
21．解： 因为当
∈[-1，0]时，
+43222233．
所以当∈
时，=
=-43，
∴
………………………………………2分
(Ⅰ)由题设
在
上为增函数，∴
在∈
恒成立，
即
对∈恒成立，于是，
，从而
．
即
的取值范围是
………………………………6分
(Ⅱ)因为偶函数，故只需研究函数=2
－43在∈
的最大值．
令
=2=0，得
．……………8分
若
∈
，即0＜≤6，则
，
故此时不存在符合题意的；……………10分
若＞1，即＞6，则在上为增函数，于是
．
令2-4=12，故=8． 综上，存在8满足题设．………………12分
22．解: （Ⅰ）依题意，由余弦定理得：
, ……2分
即即
.
,即
. …………4分
（当动点与两定点
共线时也符合上述结论）
动点的轨迹为以为焦点,实轴长为
的双曲线．
所以，轨迹Q的方程为
.
…………6分
(Ⅱ)假设存在定点
,使
为常数．
（1）当直线
不与轴垂直时，
设直线的方程为
,代入整理得:
．
…………7分
由题意知，
．
设
,
,则
,
．…………8分
于是，
…………9分
． …………11分
要使是与无关的常数，当且仅当
，此时
． …12分
（2）当直线 与轴垂直时，可得点
,
，
当时，
． …13分
故在轴上存在定点
,使为常数. …………14分