2008年厦门市高中毕业班适应性考试
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上；
2． 答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k
球的表面积公式：S=4πR2，球的体积公式：V=
πR3，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．
1．“
”是“
”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
2．已知函数
，则
的反函数是
A．
B．
C．
D．
3．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为
A．
B．
C．
D．
4．在
的展开式中，常数项是
A．20 B．
5．已知函数
，且m，n分别是
的两根，则的图象为下列图象中的（
）
6．给出下列四个命题：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；
④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；
其中真命题的为 （ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
7．在△ABC中，若
，则△ABC是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折起，使折起后的△ABC恰成等边三角形，M为高BD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
9．
如图，角
的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、
终边经过点P（-3，-4）。角
的顶点在原点O，始边在
x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且
，
则
的值为
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线
的左顶点、右焦点分别为A、F，点B
，若
，则该双曲线离心率e的值为
11．用红、黄两种颜色给如图所示的一列7个方格染色（可以只染一种颜色），要求相邻的两格不都染上红色，则不同的染色方法数有
A．7 B．
12．2008春，我国南方地区遭受了罕见的特大雪灾。大雪无情人有情，厦门某中学学生会在街头进行募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元。则截止第5天捐款总数将达到（ ）
A．3200元 B．4000元 C．9600元 D．19200元
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．
13．已知圆x2 + y2 + 6y－7 = 0，直线
：x－y－4 = 0与圆的公共点个数为
．
14．已知x、y满足约束条件
的最小值为－3，则常数k=
.
15．
设全集U是实数集R，M=
，N=
，则图中阴影部分所表示的集合是
．
16．若平面点集A中的任一个点
，总存在正实数
，使得集合
，则称A为一个开集。给出下列集合：
（1）
；(２) 
；
(３) 
；(４) 
．
其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．（本小题满分12分）
已知函数
=
，
（1） 若
，且sin2=
，求f()的值；
（2）若
，求函数的单调区间。
18．（本小题满分12分）
数列
的前
项和为
,
,数列
满足
,
．
（1）求
;
（2）求数列的通项公式．.
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA
平面ABCD,在直角梯形ABCD，
AD∥BC,
，SA=AD=
AB=2，M为BC的中点。
（1）
求证：SM AD；
（2） 求点D到平面SBC的距离．
（3） 求二面角A-SB-C的大小；
20．（本小题满分12分）
在进行一项掷骰子放球活动中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点,5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次.
（1）求甲盒中有3个球的概率；
（2）求甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列的概率．
21．（本小题满分12分）
定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意
，都有
，则称函数
为“Storm”函数。已知函数
在区间
上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，且
．
（1）求的解析式；
（2）设
，若对x 
，函数
为“Storm”函数，求实数m的最小值．
22．已知椭圆C: 
,
为其左右焦点,
，
为右顶点,
为左准线,过
的直线
,与椭圆相交于P、Q两点。
(1)当
，且
时，求椭圆C的方程;
(2)当
2时，直线
交于点
，直线
交于点
，求
的最小值.
.
2008年厦门市高中毕业班适应性考试
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．
1、A 2、A 3、C 4、C 5、A 6、C
7、B 8、C 9、A 10、D 11、B 12、B
二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算．
13、2 14、0 15、2
16、② ④
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．本小题主要考查三角函数的符号，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力．满分12分
解：（1）∵
且sin2
=
∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0
从而sin+cos＞0 ………………………………………………………… 3分
∴
=sin+cos=
=
=
…………6分
（2）∵
∴
=-sinx+cosx=
sin(x+
) ………………………… 8分
∴时，的单调递增区间为[
，
]，………………………………10分
单调递减区间为[，2]．………………………………………… 12分
18．本小题主要考查等差、比数列的概念，应用通项公式及求和公式进行计算的能力．
满分12分
解：（1） 
∴
，
所以， 数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，………4分
∴
（2）由（1）得
解法二：（1）同解法一
（2） 由（1）得
∴
……………8分，
∴
，
∴
，
……………10分
=
=
，……………………………11分
又
. ………………………12分
19．本小题主要考查直线和平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分
解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A做AN垂直BC，
垂足为N，易得BN=1，
同时四边形ANCD是矩形，
则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,
．
…………………………………………………………2分
连结AM,
因为
平面ABCD，所以
,又AD∥BC，
所以SM
AD。………4分
（2）过点A做AG垂直SM，G为垂足，
易证平面SAM
,
则
，在RT
中， 
。………7分
又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,
点D到平面SBC的距离为
………8分
（3）取AB中点E，因为
是等边三角形，所以
,又
,得
，过点E作EF垂直SB， F为垂足，连结CF，则
，所以
是二面角A-SB-C的平面角．………10分
在RT
中，
.在RT
中，
，所以二面角A-SB-C的大小为
．………12分
解法二：（1）同解法一．
（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
有A(0,0,0)，M（
，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）
所以
，
,
．
设平面SBC的法向量
，则
,
即 
，
解得
，取
．………6分
又
=
，则点D到平面SBC的距离
．………8分
（3）设平面ASB的法向量
，则
,
即
，
解得
，取
．………10分
∴
，则二面角A-SB-C的大小为
．………12分
20．本小题主要考查排列组合与概率的基础知识，考查推理、运算能力与分类讨论思想，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分12分
解：（1）因为掷出1点的概率为
，
所以甲盒中有3个球的概率
………………………4分
（2）甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列有以下三种情况：
①甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2，
此时的概率
……………………………6分
②甲、乙、丙3个盒中的球数分别为1、1、1，
此时的概率
……………………………8分
③甲、乙、丙3个盒中的球数分别为2、1、0，
此时的概率
……………………………10分
所以，甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列的概率
…12分
21．本小题主要考查函数的单调性、最值等基本知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法；考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力以及运算能力，满分12分．
解（Ⅰ）
上单调递增，在[－2，2]上单调递减，
，……2分
，
…………………………4分
又
……………………………………………………6分
（Ⅱ）已知条件等价于在
……………………8分
上为减函数，
且
……………………………………10分
上为减函数，
又
………………………………………………12分
22．本小题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，以及应用这些知识研究曲线几何特征
基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解:（１）当
时
，
，
消去
得: 
， ………2分
此时ㄓ>0，
设
点坐标为 
, 
点坐标为
，
则有
=
， 3
=
， 4
，∴ 
，代入3、4得
消去
得
解得，
则所求椭圆C的方程
．……………………6分
(２) 当
2时，椭圆C的方程
，………………７分
设点坐标为 , 点坐标为，
直线
的方程为:
，
与
的方程: 
联立得: M点的纵坐标
，
同理可得: 
，………………９分
则
=
…10分
，
此时ㄓ>0，由 =
，=
，
=
，
=
，……………… 12分
则
，
……………………13分
（当
时取等号），
∴的最小值为6. ……………………14分