北京市西城区2008年抽样测试高三数学试卷(文科) 2008.5学校班级姓名题号一二三总分15161——青夏教育精英家教网——

北京市西城区2008年抽样测试

高三数学试卷(文科) 2008.5

学校___________ 班级___________ 姓名___________

题号

一

二

三

总分

15

16

17

18

19

20

分数

本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

第一卷(选择题共40分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设全集I=R，集合A={x|x<0}，B={x||x|>1}，则集合A∩(B)等于( )

A. B.{x|－l≤x<0} C.{x|0<x≤1} D.{x|－1≤x≤1}

2.双曲线x²=1的渐近线方程是( )

A.y=±4x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x

3.设m，n表示不同的直线，α,β表示不同的平面，且m，n.则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.在等差数列{a_n}中，a_l=13，a₃=12，若a_n=2，则n等于( )

A.23 B.24 C.25 D.26

5.圆(x－1)²+y²=1的圆心到直线xy=0的距离是( )

A. B. C. D.1

6.设|φ|<，函数f (x)=sin²(x+φ).若f()=，则φ等于( )

A. B. C. D.

7.函数y=log_ax(a>0且a≠1)的图象按向量n=(－3，1)平移后恰好经过原点，则a等于( )

A.3 B.2 C. D.

8.袋中装有分别编号为1，2，3，4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有( )

A.24种 B.28种 C.32种 D.36种

北京市西城区2008年抽样测试

高三数学试卷(文科) 2008.5

学校_________ 班级_________ 姓名_________

第二卷(非选择题共110分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.)

9.从全年级学生的数学考试成绩中，随机抽取10名学生的成绩，抄录如下：(单位：分)

82 90 74 81 77 94 82 68 89 75

根据样本频率分布估计总体分布的原理，该年级学生的数学考试成绩在79.5~85.5之间的概率约为___________.

10.设向量a=(x，1)，b=(2，1－x)，若a⊥b，则实数x=___________.

11.已知点P(x，y)的坐标满足条件则变量2x－y的最大值是___________.

12.在(2x+1)⁴的展开式中，x²的系数是___________；展开式中各项系数的和为___________.

13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B,

D两点的距离为__________；直线BD和平面ABC所成角的大小是__________.

14.设函数f(x)，g(x)的定义域分别为D_f，D_g，且D_fD_g.若对于任意xD_f，都有g(x)=f(x)，则称函数g(x)为f(x)在D_g上的一个延拓函数.设f (x)=2^x(x≥0)，g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则g(x)=__________.

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点(，0)和(，1).

(Ⅰ)求实数a和b的值；

(Ⅱ)若x[0，π]，求f(x)的最大值及相应的x值.

16.(本小题满分13分)

设甲，乙两人每次投球命中的概率分别是，，且两人各次投球是否命中相互之间没有影响.

(Ⅰ)若两人各投球1次，求两人均没有命中的概率；

(Ⅱ)若两人各投球2次，求乙恰好比甲多命中1次的概率.

17.(本小题满分13分)

如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，

AB=l，E是DD₁的中点.

(Ⅰ)求证：AC⊥B_lD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－B的大小.

18.(本小题满分14分)

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=－a_n_－₁－2_n+1(n≥2，且nN*).

(Ⅰ)求a₂，a₃的值；

(Ⅱ)证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)求数列{a_n}的前n项和S_n.

19.(本小题满分14分)

已知抛物线的方程为x²=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M.

(Ⅰ)证明：l₁⊥l₂；

(Ⅱ)求点M的轨迹方程.

20.(本小题满分14分)

设aR，函数f(x)=3x³―4x+a+1.

( I )求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若对于任意x[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值；

(Ⅲ)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根，求a的取值范围.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.0.3 10.－1 11.4

12.24；81 13.1；45° 14.2 ^|x|

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：

∵函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点，

∴ 2分即 4分

解得a=1，b=－. 6分

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）. 8分

∵0≤x≤π， ∴－ 9分

当x－，即x=时，sin取得最大值1. 11分

∴f(x)在[0，π]上的最大值为2，此时x=. 12分

16.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：

记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，则A，B相互独立，

且P(A)=，P(B)=.

那么两人均没有命中的概率P=P()=P()P()=. －5分

(Ⅱ)解：

记“乙恰好比甲多命中1次”为事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”为事件C₁，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”为事件C₂，则C=C₁+C₂，C₁，C₂为互斥事件.

， 8分

? 11分

P(C)=P(C₁)+P(C₂)=. 13分

17.(本小题满分13分)

解法一：

连结BD.

∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴B₁B⊥平面ABCD，

∴BD是B₁D在平面ABCD上的射影，

∵AC⊥BD，

根据三垂线定理得，AC⊥B₁D. 5分

(Ⅱ)解：

设AC∩BD=F，连结EF.

∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

根据三垂线定理得AC⊥FE，又AC⊥FB，

∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角. －9分

在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°. 12分

∴∠EFB=180°－45°=135°，

即二面角E－AC－B的大小是135°. 13分

解法二：

∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

如图，以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 1分

D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

B₁(1,1，). 3分

(Ⅰ)证明：

∵=（－1，1，0），，

∴=0，

∴AC⊥B₁D. 6分

(Ⅱ)解：

连结BD，设AC∩BD=F，连结EF.

∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

∴AC⊥FE，AC⊥FB，

∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角. 9分

∵底面ABCD是正方形 ∴F,

∴， 12分

∴二面角E-AC-B的大小是135° 13分

18.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：

∵a₁=3，a_n=－a_n_－₁－2n+1(n≥2，且n∈N^*)，

∴a₂=－a₁－4+1=－6， 2分 a₃=－a₂－6+1=1. 4分

(Ⅱ)证明：

∵

∴数列{a_n+n}是首项为a₁+1=4，公比为－1的等比数列. 7分

∴a_n+n=4?(－1)ⁿ^－¹, 即a_n=4?(－1)ⁿ^－¹－n，

∴{a_n}的通项公式为a_n=4?(－1)ⁿ^－¹－n(n∈N^*). 9分

(Ⅲ)解：

∵{a_n}的通项公式a_n=4?(－1)ⁿ^－¹－n(n∈N^*)，

所以当n是奇数时，S_n=?12分

当n是偶数时，S_n=?(n²+n).

综上，S_n= 14分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：

依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+，

将其代入x²=2y，消去y整理得x²－2kx－1=0. 2分

设A,B的坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁x₂=－1. 3分

将抛物线的方程改写为y=x²，求导得y′=x.

所以过点A的切线l₁的斜率是k₁=x₁，过点B的切线l₂的斜率是k₂=x₂，

因为k₁k₂=x₁x₂=－1，所以l₁⊥l₂. 6分

(Ⅱ)解：

直线l₁的方程为y－y₁=k₁(x－x₁)，即y－=x₁(x－x₁)，

同理，直线l₂的方程为y－=x₂(x－x₂)，

联立这两个方程，消去y得=x₂(x－x₂)－x₁(x－x₁)，

整理得(x₁－x₂)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=. 10分

此时)y=. 12分

由(Ⅰ)知，x₁+x₂=2k, 所以x==k∈R，

所以点M的轨迹方程是y=. 14分

20.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：

f(x)的导数f′(x)=9x²－4.

令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；令f′(x)＜0，解得－＜x＜.

从而f(x)的单调递增区间为,；单调递减区间为. 3分

(Ⅱ)解:

由f(x)≤0，得－a≥3x³－4x+1. 4分

由(Ⅰ)得，函数y=3x³－4x+1在内单调递增，在内单调递减，

从而当x=－时，函数y=3x³－4x+1取得最大值. 6分

因为对于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，

故－a≥，即a≤－，

从而a的最大值是－. 8分

(Ⅲ)解：

当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表：

x

f′(x)

+

0

－

0

+

f(x)

ㄊ

极大值a+

ㄋ

极小值a

ㄊ

①由f(x)的单调性，当极大值a+＜0或极小值a＞0时，方程f(x)=0最多有一个实数根；

②当a=－时，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根；

③当a=时，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有两个相异的实数根.

如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根，则解得

a∈. 12分

事实上，当a∈时，

∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，

所以方程f(x)=0在内各有一根.

综上，若方程f(x)=0存在三个相异的实数根，则a的取值范围是. 14分