2007年温州中学高三适应性测试数学试卷 2007.5注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷第Ⅱ卷两部分.满分为150分.考试时间为120分钟.参考公式:如果事件A.B互斥.那么球的表面积公式PS=4R2如——青夏教育精英家教网——

2007年温州中学高三适应性测试

数学（理科）试卷 2007.5

注意事项：

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么

球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=4R²

如果事件A、B相互独立，那么

其中R表示球的半径

P(A•B)=P(A)•P(B)

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1、若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则（）

A．{1,2,3} B. {2} C.{1,3,4} D. {4}

2、已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为　

　 A．1 B．2 C．3 D．4

3、将直线绕着点(-1,1)沿逆时针方向旋转所得的直线方程　

A. B. C. D.

4、，且，则向量与的夹角为　

A．　　 B. 　　　C. 　　 D.

5、函数y＝1－|x－x²|的图象大致是

A． B． C． D．

6、随机变量，记，则下列式子中错误的是

A. B.

C. D.

7、设为直线,为平面,则的一个充分不必要条件是

A. B. C. D..

8、过函数f (x)= x+cosx－sin x图象上一点的切线的倾斜角是θ，则θ的取值范围是

A．　　　 B．

C．　　　　D．

９、在平面直角坐标系中，点满足，点所在区域的面积为，

则集合的交集所表示的图形面积为

A． B． C．1 D．

10、一条走廊宽长，, 用 6 种颜色的的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2007年温州中学高三适应性测试

数学（理科）答卷纸 2007.5

题号

一

二

三

总分

18

19

20

21

22

得分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总分

答案

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案填写在题中的横线上.

11、已知复数，且满足，则实数的值为

12、椭圆的焦距是它的两条准线间距离的，则它的离心率为

13、函数的最小正周期为

14、若二项式展开式中的第5项是5，则等于

15、棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心O到平面BCD的距离等于

16、已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中，在这些抛物线中，记随机变量的取值

则的数学期望

17、定义点到直线的有向距离为：

.已知点、到直线的有向距离分别是、，有以下命题：

①若=0，则直线与直线平行；②若+=0，则直线与直线平行；

③若+=0，则直线与直线垂直；④若<0，则直线与直线相交。

以上结论正确的是 .（要求填上正确结论的序号）

三、解答题:本大题共5个小题，前面4题每小题14分，最后一题16分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18、数列满足:

(Ⅰ)记,求证:是等比数列;

(Ⅱ)求数列的通项公式;

19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求; (Ⅱ) 设求实数x、y的值.

20、如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

(Ⅰ)若M为AB中点，求证 BB₁∥平面EFM；

(Ⅱ)求证 EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A₁―B₁D―C₁的大小

21、已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，记直线l

与直线MN夹角为θ，求的取值范围．

22、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有

（其中为自然对数的底，）．

（Ⅰ）若,求函数的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．

（Ⅲ）设（），求证：当时，；

2007年温州中学高三适应性考试

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案填写在题中的横线上.

11． 0 12．

13． -1 14．

15. 16. 17.___ ④____

三、解答题:本大题共5个小题，第18-21题每小题14分，第22题16分,共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18、数列满足:

(Ⅰ)记,求证:是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;

解：(Ⅰ)

，是等比数列;

(Ⅱ)

19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求; (Ⅱ) 设求实数x、y的值.

解：(Ⅰ)设

(Ⅱ)

（其他方法解对同样给分）

20、如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

(Ⅰ)若M为AB中点，求证 BB₁∥平面EFM；

(Ⅱ)求证 EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A₁―B₁D―C₁的大小

(1) 证明连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB

（和AB₁的中点，

∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM

(2)证明取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF

(3)解取B₁C₁的中点O，连结A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由点O作B₁D的垂线OQ，垂足为Q，连结A₁Q，由三垂线定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD为二面角A₁―B₁D―C的平面角，易得∠A₁QO=arctan

（建立坐标系解对同样给分）

21、已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，记直线l

与直线MN夹角为θ，求的取值范围．

解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，

建立直角坐标系xOy．　

∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1

或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1

∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为1的双曲线（不包含顶点），

其轨迹方程为（y≠0）　

（Ⅱ）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₂＋2，y₂)

设AB：my＝x＋，代入得，3(my－)²－y²－2＝0，

即(8m²－1)y²－24my＋16＝0．

∴　＝λ，y₁＝-λy₂，∴　

得，，

∴∈[-2，0]，即

∴　，故

22、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有

（其中为自然对数的底，）．

（Ⅰ）若,求函数的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．

（Ⅲ）设（），求证：当时，；

解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇函数得，因此，函数的解析式为；

（Ⅱ）当时，：

①若，则在区间上是减函数，故此时函数在区间上没有最小值；

②若，则令，且在区间上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，．

令．

综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3．

（Ⅲ）证明：令。当时，注意到，故有

．

①当时，注意到，故

；

②当时，有，故函数在区间上是增函数，从而有

。

因此，当时，有。

又因为是偶函数，故当时，同样有，即．

综上所述，当时，有；