甘肃省天水一中2009届高三第一学期期末考试数学试题(理)
命题:王开祥 校对:王亚平 审核:高玲玲
考生注意:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=CPk(1-P)n-k
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,则= ( )
A.[-1,0] B.[0, ) C. D.
2.下列函数中周期为2的是 ( )
A.y = 2 B.y = sin2x + cos2x
C.y = tan () D.y = sin xcos x
3.函数的图像大致形状是 ( )
4.已知等比数列的公比,其前项和为,则的值为 ( )
A.0 B. C.1 D.2
5.函数图象的一条对称轴方程是 ( )
A. B. C. D.
6. 若命题P: ,命题Q: ,则P是Q的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设m、n是不同的直线,是不同的平面,有以下四个命题
① ②
③ ④
其中为真命题的是 ( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
8.若,且,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. B. C. D.
9、数列的通项公式为= ,若前n项和为10, 则项数为: ( )
A.11
B
10.将圆平移后,恰好与直线相切,则实数b的值为 ( )
A. B.- C. D.-
11.如图,正四棱柱中,,
则异面直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
12.如果椭圆上存在一点P,使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等,那么椭圆的离心率的范围是 ( )
A B C D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知,且,∠AOB=60°,则=__
与的夹角为___
14.实数的最大值为___
15.三角形的值为_____.
16.设函数有最大值, 则不等式的
解集为_______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本大题共10分)设函数成立的x的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知角为的三个内角,其对边分别为,若向量,,,且.
(1)若的面积,求bc的值.
(2)求的取值范围.
19、(本小题满分12分)某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且各次射击的结果互不影响。
(1)求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);
(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答);
20.(本题满分12分) 已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间及其极值;
(Ⅱ)证明:对一切,都有成立.
21.(本小题满分12分)数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ) 设正数数列满足.求数列中的最大项;
(Ⅲ) 求证:.
22.(本小题满分12分)已知直线与抛物线相切于点P(2,1),且与轴交于点A,定点B的坐标为(2,0)。
(I)若动点M满足,求点M的轨迹C;
(II)若过点B的直线(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求与面积之比的取值范围。
天水一中2006级2008――2009学年第一学期期末考试题
一、BCBBA BCDCB DB
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13 14 ..4 15. 16. (2,3)
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本大题共10分)
解:由于y=2x是增函数,等价于
. ①………………………………… 2分
(i) 当x≥1时,|x+1|-|(x-1)|=2.…………………………………… 5分
∴①式恒成立.
(ii) 当-1<x<1时,|x+1|-|x-1|=2x,
①式化为即………………………………… 8分
(iii)当x≤-1时,|x+1|-|x-1|=-2,
①式无解.
综上, x取值范围是.……………………………… 10分
18. (本小题满分12分)
.解:(1),,且.
,即,又,……..2分
又由, 5分
(2)由正弦定理得:, 7分
又,
…………9分
,则.则,
即的取值范围是………………… 12分
19.(本小题满分12分)
(1)解:设“射手射击1次,击中目标”为事件A
则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
= 7分
(2)解:射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率
12分
20. (本小题满分12分)
(Ⅰ)解:,令,得. 2分
0
增
极大值
减
由上图表知:
的单调递增区间为,单调递减区间为.
的极大值为. 5分
(Ⅱ)证明:对一切,都有成立
则有
由(Ⅰ)知,的最大值为,
并且成立, 8分
当且仅当时成立,
函数的最小值大于等于函数的最大值,
但等号不能同时成立.
所以,对一切,都有成立. 12分
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立
∴ (n ≥ 2)②
①--②得
∴
∵均为正数,∴ (n ≥ 2)
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时,, 解得=1
∴.() ……………4分
(Ⅱ)(解法一)由已知 ,
易得
猜想 n≥2 时,是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为. …………… 6分
(解法二) 猜测数列中的最大项为.
易直接验证;
以下用数学归纳法证明n≥3 时,
(1)当时, , 所以时不等式成立;
(2)假设时不等式成立,即,即,
当时, ,
所以,即时不等式成立.
由(1)(2)知对一切不小于3的正整数都成立.
…………… 8分
(Ⅲ)(解法一)当时,可证: …………… 10分
…………… 12分
(解法二) 时, ……8分
…………… 12分
注:也可分段估计,转化为等比数列求和(也可加强命题,使用数学归纳法)
22.(本小题满分12分)
解:(I)由
故的方程为点A的坐标为(1,0) 2分
设
由
整理 4分
动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,
长轴长为,短轴长为2的椭圆。 5分
(II)如图,由题意知的斜率存在且不为零,
设方程为①
将①代入,整理,得
7分
设、,
则 ②
令
由此可得
由②知
,
即 10分
解得
又
面积之比的取值范围是 12分