1.3全称量词与存在量词（一）量词
[教学目标]
三、师生探究
1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：
(1) 全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作
、
等，表示个体域里的所有个体。
(2) 存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作
，
等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。
练习：P14----练习题
例1判断以下命题的真假：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：设a=b，则有a2=ab
第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2
第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b)
第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b
第六步：两边都除以b得，2=1
分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b
第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。
心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，
河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；
（2）存在性命题，
0∈R，0不能作除数；
（3）全称命题， x∈R，
；
（4）全称命题，
，有方向；
五、回顾反思
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
六、课后习题：教材P16-----1,2,3
补充习题A组
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数
B．
C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．
，都有
B．
，都有
C．
，都有
D．
，都有
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．对于下列语句
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确的命题序号是 。（全部填上）
[B组]
6．命题
是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
[C组]
1、平面向量
已知
∥
，
，求
及
夹角。
2、已知向量
= (
)和
=(
)， 
．
（1）求
的最大值；（2）若=
，求
的值．
C组：
1、
∥
，
2、
(1) 
．
=
=
∵
，∴
，∴
．
∴max=
．
(2)由已知
，得
．
=
=
．
1.3全称量词与存在量词（二）量词否定
教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；
教学难点：隐蔽性否定命题的确定；
课 型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ 
”与“
”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，
都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）"xÎR，x2-2x+1≥0
分析：（1）"
，否定：存在一个矩形不是平行四边形；
（2）
，否定：存在一个素数不是奇数；
（3），否定：$xÎR，x2-2x+1<0；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
三、师生探究$
问题2：写出命题的否定
（1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1）" xÎR，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形；
（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；
从集合的运算观点剖析：
,
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：" xÎM,有P（x）不成立。
用符号语言表示：
P:"ÎM, p(x）否定为Ø P: $ÎM, Ø P（x）
P:$ÎM, p(x）否定为Ø P: "ÎM, Ø P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
不一定是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立
否定一个命题常常坚持三点互换：任意与存在互换，肯定与否定互换、或者与并且互换
五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；（2）p："xÎR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）Ø P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"xÎR，x2－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞
例3 写出下列命题的否定。
（1） 若x2＞4 则x＞2.。
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数
，虽然满足
＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的否命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x?2,则x2-x?2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1）Ø P：若存在x＞y，则5x≤5y； 假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）Ø P：若存在x,满足x2+x?2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）Ø P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4）Ø P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b?0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b?0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则Øq”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
七、课后练习
A组
1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“"xÎR，x2-x+3>
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p："m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；
（2）q：$ÎR，使得x2+x+1≤0；
B组
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若
是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．
（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．
（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
书P16习题上Ex3、4
C组
1、已知
、
、
三点的坐标分别为
、
、
，
，
（1）若
，求角
的值；（2）若
，求
的值。
2、设平面内的向量
点
是直线
上的一个动点，求当
取最小值时，
的坐标及
的余弦值。
参考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x2-x+3≤0；4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除； 否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
5．（1）Øp：$m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。
（2）Øq："ÎR，使得x2+x+1>0；真命题。
6． ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；
⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；
⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；
⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；
⑸若(x-1)(x-2)=0，则
或
，(真)．
C组
1、（1）
由得
又
（2）由，得
所以，=
2、设
点在直线上，
与
共线，而
即
有
.
故当且仅当
时，取得最小值
，此时
于是 
