C组：

1、∥  ，

2、 (1)  ．

==

∵，∴，∴．

∴_max=．

(2)由已知，得 ．

=

=． 

1.3全称量词与存在量词（二）量词否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

课    型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2），否定：存在一个素数不是奇数；

（3），否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究$

问题2：写出命题的否定

（1）p：$ x∈R，x²＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）" xÎR，x²＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：,

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：" xÎM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:"ÎM, p(x）否定为Ø P: $ÎM, Ø P（x）

P:$ÎM, p(x）否定为Ø P: "ÎM, Ø P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否定

不是

不一定是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

词语

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

词语的否定

一个也没有

至多有n-1个

至少有两个

存在一个x不成立

存在有一个成立

否定一个命题常常坚持三点互换：任意与存在互换，肯定与否定互换、或者与并且互换

五、巩固运用

例1  写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；（2）p："xÎR，x²＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：（1）Ø P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x²＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x²＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

（1） 若x²＞4 则x＞2.。

（2） 若m≥0,则x²+x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。

（4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x²＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x²+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4 写出下列命题的否命题与否命题，并判断其真假性。　

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x²+x?2,则x²-x?2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x²+ax+b≤0有非空实解集，则a²-4b≥0。

解：（1）Ø P：若存在x＞y，则5x≤5y； 假命题

　　    否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）Ø P：若存在x,满足x²+x?2，则x²-x≥2；真命题

　　    否命题：若x²+x≥2，则x²-x≥2）；假命题。

　 （3）Ø P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。　　

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）Ø P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a²-4b?0。假命题。

　　否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a²-4b?0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则Øq”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

A组

1．命题p：存在实数m，使方程x²＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（      ）

A.存在实数m，使得方程x²＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x²＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x²＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x²＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（    ）

A．大前提错误    B．小前提错误      C．推理形式错误   D．非以上错误              

3．命题“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是                     

4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是                                     

否命题是                                       

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p："m∈R，方程x²+x-m=0必有实根；

（2）q：$ÎR，使得x²+x+1≤0；

B组

6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x²-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

书P16习题上Ex3、4

C组

1、已知、、三点的坐标分别为、、，，

（1）若，求角的值；（2）若，求的值。

2、设平面内的向量点是直线上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及的余弦值。

参考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x²-x+3≤0；4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除；   否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5．（1）Øp：$m∈R，方程x²+x-m=0无实根；真命题。

（2）Øq："ÎR，使得x²+x+1>0；真命题。

6． ⑴  若m>1，则方程x²-2x+m=0无实数根，(真)；

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或，(真)．

C组

1、（1）

由得    又     

（2）由，得

所以，=

2、设   点在直线上，与共线，而

  即   有.

故当且仅当时，取得最小值，此时

     于是