河南省实验中学2009年高三年级第一次质量预测
数学试题(文科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写清楚,并将准考证号对应的数字涂黑.
2.每小题选出答案后,用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共l2小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件A,B相互独立,那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
1.设=,=,则= ( )
A.[2,4] B. [-2,2] C.[-2,4] D.[-4,4]
2.若向量=(4,2),=(6,m),则,则的值是 ( )
A.12 B.
3.曲线在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
4.若函数的反函数是,则= ( )
A.0 B.
5.设是过抛物线焦点的弦,那么以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
6.一枚硬币连掷5次,这至少一次正面向上的概率是 ( )
3
4
A. B. C. D.
7.将1、2、3…9这九个数字填在如图的9个空格中,要求每一
行从左到右,每一列从上到下增大,当3、4固定在图中的位
置时,填写空格的办法为 ( )
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
8.如右图,在正方体-中,为的中点,则与所在直线所成角的余弦值等于 ( )
A. B.
C. D.
9.已知函数的值为 ( )
A.-4 B.
10.已知函数是上的减函数。那么的取值范围是
( )
A. B. C. D.
11.同时具有性质:“①最小正周期是②图像关于直线对称③在上是增函数”的一个函数是 ( )
A. B.
C. D.
12.斜率为2的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
3.本卷共l0小题,共90分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(注意:在试题卷上作答无效)
13.已知 ,则的最小值是 .
14.15的展开式中各项系数和是 ?
15.等差数列{an}的前10项和为10,前20项和为30,则其前30项和等于 .
16.下列命题:①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行,那么这两个平面平行;②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行;③平行于同一平面的两个不同平面相互平行;④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行。其中真命题的是 .(把正确的命题序号全部填在横线上)
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)
为△ABC的内角A、B、C的对边,,且与的夹角为。
(I)求角C;
(Ⅱ)已知,△ABC的面积,求.
18.(本题满分l2分)(注意:在试卷上作答无效)
如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直,G是AF的中点.
(I)求证:AC∥平面GBE;
(Ⅱ)若直线BE与平面ABCD成45o角,求平面GBE
与平面ABCD所成的锐二面角的大小.
19.(本题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
从某批产品中,有放回地抽取产品2次,每次随机抽取1件,假设事件:“取出的2件产品中至多有一件是二等品”的概率
(I)求从该批产品中任取1件是二等品的概率P;
(II)若该批产品共100件,从中一次性任意抽取2件,求事件:“取出的2件产品中至少1件是二等品”的概率
20.(本题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知三次函数在,()上单调递增,在上单调递减.
(I)求的值;
(II)若当且仅当时,,求的解析式.
21.(本题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知是互相垂直的单位向量,.
(I)若,,试写出;
(II)若,,试写出;
(III)记,求数列的前项和.
22.(本题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知点,分别在直线和上运动,点是线段的中点,且动点轨迹是曲线.
(I)求曲线的方程,并讨论所表示的曲线类型;
(II)当时,过点的直线与曲线恰有一个公共点,求直线的斜率.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
A
B
C
D
C
D
二、填空题
13.2 14.-1 15.60 16.③④
三、解答题
17.解:(1)∵,,
∴. …………2分
又, …………4分
∴,∴.…………5分
(2)∵,,,
∴. …………7分
∵,
∴. …………9分
∴,
∴.…………10分
18. (1)证明:连结BD交AC于点M,取BE的中点N,
连结MN,则MN∥ED且MN=ED,依题意,
知AG∥ED且AG=ED,
∴MN∥AG且MN=AG.
故四边形MNAG是平行四边形,
AM∥GN,即AC∥GN,…………4分
又∵,
∴ AC∥平面GBE. …………6分
(2)延长EG交DA的延长线于H点,
连结BH,作AP⊥BH于P点,连结GP.
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD ,
GH平面ADEF, GA⊥AD.
∴ GA⊥平面ABCD,由三垂线定理,知GP⊥BH,
故∠GPA就是所求二面角的平面角. …………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD ,ED⊥AD.
∴ ED⊥平面ABCD,
故∠EBD就是直线BE与平面ABCD成的角,…………10分
知∠EBD=45°,设AB=a,则BE=BD=a.
在ABH中:AH=AB= a,
BH=,AP==a.
在GPA中:由AG==a
=AP ,GA⊥AP,知∠GPA=45°.
故平面GBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小为45°.…………12分
19.解:(1)记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”.
则A0、A1互斥,且A=A0+A1,
故P (A)=P (A0+A1)=P (A0) +P (A1)=(1-p)2+Cp (1-p)=1-p2.
依题意,知1-p2=0.96,
又p>0,得p=0.2.…………6分
(2)若该批产品共100件,由(1)知,其中共有二等品100×0.2=20件.
记C表示事件“取出的2件产品中无二等品”,
则事件B与事件C互斥,依题意,知
P(C)=.故P (B)=1-P(C)=.…………12分
20.解 (1)在上单调递增,上单调递减,
有两根,……3分
……6分
(2)令,
则, ……………8分
因为在上恒大于0,
所以在上单调递增,
故, , …………10分
. ……………12分
21.解:(1)依题意,知=10b-b =9b.
由0,
得,
故=,
得=9b= b.…………4分
(2)依题意,知=
由
得
即 -=
故=
(3)由a、b是互相垂直的单位向量,c = a+b知,b •c= b •( a+b)=0+1=1.
得 an=b •2 n c=2 n.记数列{an}的前n项和为Sn,
则有 Sn=2×9+4×3+6×1+8×+…+2 n.①…………10分
Sn=2×3+4×1+6×+8×+…+2(n-1)+ 2 n.②
①-②得,Sn=2[9+3+1++…+]- 2 n.
故Sn =.…………12分
22.解:(I)设依题意得
消去,整理得.…………4分
当时,方程表示焦点在轴上的椭圆;
当时,方程表示焦点在轴上的椭圆;
当时,方程表示圆. …………6分
(II)当时,方程为,
设直线的方程为,
消去得.…………10分
根据已知可得,故有,
,直线的斜率为. …………12分