2007年宁波市高三模拟试卷
（数学理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、若全集
，则
为
A．
B．
C．
D．
2、复数
，则
A．
B．
C．
D．
3、下列函数中，是周期函数且在区间
上递减的是
A．
B．
C．
D．
4、已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
A．
B．
C．
D． 
5、“升级”是一种常见的网络游戏．在游戏的发牌过程中，先从洗好的两副扑克牌（108张）
中任意抽出8张作为“底牌”，再把剩下的100张牌按确定的顺序发牌，每个玩家25张．
这其实是两个抽样的过程，其抽样方法分别是
A．简单随机抽样，分层抽样 B． 分层抽样，系统抽样
C．系统抽样，分层抽样 D．简单随机抽样，系统抽样
6、给出以下四个命题：
①过直线外一点作该直线的垂线是唯一的；
②过直线外一点作该直线的平行平面是唯一的；
③过平面外一点作该平面的垂直平面是唯一的；
④过平面的斜线作该平面的垂直平面是唯一的．
其中真命题的个数为
A．
B．
C．
D．
7、已知
，
，则函数
的图象是
8、在等差数列
中，
，记
为其前
项和，则
A．
B．
C．
D．
9、若
为锐角，则“
”是“
”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
10、若集合
、
满足
，则称
，
为集合
的一个分拆，并规定：当且
仅当
时，，与
，
为集合的同一种分拆，则集合
的不同分拆种数是
A. 8 B. 9 C. 26 D. 27
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答案卡中的相应横线上．
11、椭圆
的两条准线间的距离是 ▲ ．
12、
▲ ．
13、在
的展开式中，
项的系数为 ▲ ．
14、
的三内角
所对的长分别为
,若向量
与
是共线向量, 则角
▲ ．
15、已知实数
满足条件
，则表达式
的
最小值是 ▲ ．
16、若随机变量的分布列如表所示，则随机变量
的数学期望是 ▲ ．
17、如图、在正三棱锥
中，
分别是
的
中点，
，且
，则正三棱锥的
外接球的面积等于 ▲ ．
三、解答题：本大题5小题，其中第18题~第21题每题14分，第22题为16分 ，共72分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18、四棱锥
中，
是矩形，
面，
分别是
的中点．
（1）证明：
∥平面
；
（2）若二面角
的大小为
，
求与平面所成的角．
19、函数
．
（1）若
的导函数
的图像按向量
平移后可得到函数
的
图像，求实数
的值；
（2）当
时，求函数在区间
上的最大值和最小值．
20、已知函数
（
）．
（1）求函数
的定义域；
（2）若函数在区间
上是增函数，求实数
的取值范围．
21、已知曲线
．
（1）由曲线
上任一点
向
轴作垂线，垂足为
，点
分
所成的比为
，
问：点的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（2）如果直线
的一个方向向量为
，且过点
，直线交曲线于
、
两点，又
，求曲线的方程．
22、设数列
的各项都是正数，且对任意
，都有
，
其中为数列的前
项和．
（1）求
，并求数列的通项公式；
（2）设
为非零整数，
），试确定
的值，
使得对任意
，都有
成立．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
D
A
B
B
C
D
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
11、
； 12、 
； 13、
； 14、
； 15、
； 16、
；17、
。
三、解答题
18、（1）略 ……………………………………………………………………（7分）
（2）
就是二面角
的平面角，即
，
…………………………………………………………………（9分）
取
中点
，则
平面
，
就是
与平面所成的角。 …………………………（11分）
，
，
所以与平面所成的角的大小为
。 …………………………（14分）
（用向量方法，相应给分）
19、（1）
，
，
…………（7分）
（2）
，当
时，
；当
时，
，而
，
……………………………………………（14分）
20、（1）当
，当k＝1时，
……………………………………… （7分）
（2）由已知
，又设
，则
，
知当
时，
为增函数，则知
为增函数。…………………（14分）
（用导数法相应给分）
21、.解：（1）、设
，则
，
∵点P分
所成的比为
∴ 
∴ 
∴
代入
中，得
为P点的轨迹方程．
当
时，轨迹是圆． …………………………………………………（7分）
（2）、由题设知直线l的方程为
， 设
联立方程组
，消去
得：
∵ 方程组有两解 ∴ 
且
∴
或
且
∵
∴
又 ∵ 
∴ 
解得
（舍去）或
∴ 曲线C的方程是
……………………………………………（14分）
22、解（1）
………………………………………………（5分）
猜想 
， …………………………………………………………（7分）
证明（略） ……………………………………………………………………（10分）
（2）
，要使
恒成立，
恒成立
即
恒成立.
（i）当
为奇数时，即
恒成立， 又
的最小值为1，
（ii）当为偶数时，即
恒成立， 又
的最大值为
，
即
，又
，
为整数，
∴
，使得对任意
，都有
…………………………………（ 16分）