东城区2008―2009学年度第一学期期末教学目标检测
高三数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9
页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），则向量a与b （ ）
A．互相平行 B．夹角为60° C．夹角为30° D．互相垂直
2．已知集合A={x∈Z｜x2－2x－3＜0}，B＝{ x∈Z
x－3｜＜2}，则集合A
B等于 （ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
3．已知a、b为实数，则
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在△ABC中，∠ C＝120°，tanA+tanB＝
，则tanAtanB的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若f（x）是偶函数，且当x∈［0，+∞）时， f（x）＝x－1，则不等式f（x－1）＜0的解集是 （ ）
A．{x｜－1＜x＜0} B．{x｜x＜0或1＜x＜2}
C．{x｜0＜x＜2} D．{x｜1＜x＜2}
6．在
的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是
（ ）
A．3 B．
7．已知函数f（x）＝－
在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（ ）
A．［－2，－1］ B．［－2，0］ C．［0，2］ D．［－1，0］
8．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚
题号
一
二
三
总分
1～8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分数
得分
评卷人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．已知{an}为等差数列，若a1+ a5+ a9＝
，则cos（a2+ a8）的值为 ．
10．设x、y满足约束条件
则z＝2x+y的最大值是 ．
11．一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB＝BC
＝CA＝3，则球的半径是 ，球的体积为 ．
12．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个．
13．已知双曲线
－
＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若
＝5，则△ABF1的周长为
．
14．直线y＝2x+m和圆x2+y2＝1交于A、B两点，以Ox为始边，OA、OB为终边的角分
别为
、
，则sin（+）的值为
．
得分
评卷人
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝cos2x-sin2x+2
sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（）＝2，且a∈
，求的值．
16．（本小题满分13分）
得分
评卷人
北京的高考数学试卷中共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的，有一道题可以判断其有一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（Ⅰ）该考生得分为40分的概率；
（Ⅱ）该考生所得分数
的分布列及数学期望E．
17．（本小题满分14分）
得分
评卷人
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， AA1＝4．
（Ⅰ）求证：AC
BC1；
（Ⅱ）求二面角C1－AB－C的大小；
（Ⅲ）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，
若存在，试给出证明；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
得分
评卷人
已知函数f（x）＝1n（2－x）+ax．
（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2＝1相切，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
19．（本小题满分13分）
得分
评卷人
已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4
y的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A（1，）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．
20．（本小题满分14分）
得分
评卷人
已知点B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y＝
+
上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），…An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1＝a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：数列{yn}是等差数列；
（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，x n+2－x n是常数，并求数列{x n}的通项公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A nB nA n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
东城区2008―2009学年度第一学期期末教学目标检测
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．－
10．5 11．2，
12．12 13．26 14．－
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2
sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1
＝2sin
+1. ……………………………………………5分
因此f（x）的最小正周期为
，最小值为－1．……………………………7分
（Ⅱ）由f（
）＝2得2 sin
+1＝2，即sin＝． ………9分
而由∈
得2+
∈
．……………………………10分
故2+＝
．…………………………………………………………12分
解得＝
． ………………………………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为
，还有一道题答对的概率为
，所以得40分的概率为
P＝×××＝
． ………………………………………………5分
（Ⅱ）依题意，该考生得分
的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝××
×
＝
；
同样可求得得分为25分的概率为
P（＝25）＝
××××+×××+×××＝
；
得分为30分的概率为P（＝30）＝；
得分为35分的概率为，P（＝35）＝
；
得分为40分的概率为P（＝40）＝．
于是的分布列为
20
25
30
35
40
P
………………………………………………………………………………11分
故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝
．
该考生所得分数的数学期望为 ………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1
底面
ABC，BC1在底面上的射影为CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1………………………4分
（Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．
在
ABC中，CE＝
，
在RtCC1E中，tanC1EC＝
＝
，
故所求二面角的大小为arctan．……9分
（Ⅲ）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．
设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．连接OD．
在△ABC1中，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，又AC1
平面CDB1，OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则
C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故ACBC1 ………………………………………………4分
（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为
n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．
则n＝（4，3，3）．
故cos＜m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小为arccos. ………………………………………9分
（Ⅲ）同解法一 ………………………………………………………………………4分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+
．……………………………………………3分
因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，
所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分
又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，
＝1．
解得a＝1． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）f ′（x）＝a+.
因为a＞0，所以2－
＜2，又由已知x＜2．………………………………9分
令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分
所以，f（x）的单调增区间是
，
f（x）的单调减区间是
．………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－
），故设椭圆方程为
+
＝1．
将点A（1，）代入方程得
+
＝1，整理得a4－5a2+4＝0，
解得a2＝4或a2＝1（舍）．
故所求椭圆方程为
+
＝1． …………………………………………6分
（Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），
代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2－4＝0， …………………………9分
由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．
由x1+x2＝-
m，x1x2＝
，
故
＝
＝
．
又点A到BC的距离为d＝
， …………………………………………11分
故
＝?d＝
≤
?
＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足＞0）
所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题意有yn＝
+
，于是yn+1－yn＝．
所以数列
是等差数列． ………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意得
＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①
所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）． ②……………………6分
由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．那么得
x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，
x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）
故xn＝
……………………………………………10分
（Ⅲ）当n为奇数时，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以
＝2（1－a）；
当n为偶数时，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；
作BnCnx轴，垂足为Cn，则
＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只需＝2.
当n为奇数时，有2（1－a）＝2
，即12a＝11－3n． ①
当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝
；当n≥5时，①式无解．
当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝
．
综上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或. ………………………………………………………………………14分