2009届
19.（本小题满分12分）
数学（文）
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：邱星明）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上．
1．设集合，集合，则下列结论正确的是
试题详情
2．已知数列为等差数列，为的前项和，，则的值为
A． B． C． D．64
3．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有
A．100辆 B．200辆
C．300辆 D．400辆
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
5．已知a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是
A．a2>b2 B．() a <()b C．lg(a－b)>0 D．>1
6．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，且，则使的取值范围是
A． B．
C． D．
7．“”是“对任意的正数，”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若椭圆的离心率,则的值为
A． B．或 C． D．或
9．已知、是平面，、是直线，给出下列命题
①若，，则．
②若，，，，则．
③如果、n是异面直线，那么相交．
④若，∥，且，则∥且∥．
其中正确命题的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为
A．1
B．
C．
D．
11．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是
A． B． C． D．
12．已知直线，若直线l2经过点（0，5），且的方程为
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上．
13．已知向量，且与共线，则锐角等于 ．
14．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
15．直线上的点和圆上的点的最短距离是 ．
16．已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上．
17．（本小题满分12分）
已知，其中向量＝（），＝（1，）（）
（1）求的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，，，，求边长b的值．
18．（本小题满分12分）
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
19．（本小题满分12分）
如右图所示，四棱锥中，底面为正方
形，平面，，，，分
别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足
（1）求；
（2）令，证明：数列是等比数列；
（3）求数列的通项公式．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数上为单调增函数，求a的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点为（-1,0）和（1,0），椭圆上的点到两个焦点的距离和为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
解：⑴f (x)＝?－1＝（sin2x，cosx）?（1，2cosx）－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝ sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋） 3分
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ 得kπ－≤x≤kπ＋
∴f (x)的递增区间为 （k∈Z） 6分
⑵f (A)＝2sin（2A＋）＝2 ∴sin（2A＋）＝1
∴2A＋＝∴A＝ 9分
由正弦定理得： ．∴边长b的值为． 12分
解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 1分
（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，
所以P（A）=；
答：两数之和为5的概率为． 4分
（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，
所以P（B）=；
答：两数中至少有一个奇数的概率． 8分
（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，
所以P（C）=．
答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率． 12分
（1）证法1：如图，取的中点，连接，
∵分别为的中点，∴．
∴．
∴四点共面．………………………………………………………………2分
∵分别为的中点，∴．……………………………………4分
∵平面，平面，
∴平面．……………………………………………………………………6分
证法2：∵分别为的中点，
∴，．……………………………………………………………2分
∵，∴．又
…………………4分
∵，∴平面平面． …………………5分
∵平面，∴平面． …………………………………………6分
（2）解：∵平面，平面，∴．
∵为正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………8分
∵，，∴．……………10分
∵，
∴．…………………………………12分
解：（1）∵
…………………2分
（2）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列． ………………7分
（3）由（I）得
………………12分
解：（1）设切线的斜率为k，则 ………2分
又，所以所求切线的方程为： …………4分
即 …………6分
（2）， ∵为单调增函数，∴
即对任意的 …………8分
…………10分
而，当且仅当时，等号成立.
所以 …………12分
解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得： …………3分
椭圆的标准方程为． …………5分
（2）设．
联立 得:， …………6分
则 …………8分
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即． …………9分
．
． …………10分
解得：，且均满足． …………11分
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；…………12分
当时，的方程为，直线过定点． …………13分
所以，直线过定点，定点坐标为． …………14分
，集合
，则下列结论正确的是 
为等差数列，
为
项和，
，则
的值为
B．
C．
D．64 
3．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于
的图象，只需将函数
的图象 
个单位 B．向右平移
个单位
)
a <(
>1
在
上是减函数，且
，则使
的
取值范围是 
B．
D．
”是“对任意的正数
，
”的 
的离心率
,则
的值为
B．
或
C．
或
、
是平面，
，
，则
．
，
，
，
，则
．
、n是异面直线，那么
相交．
，
，则
10．如图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 
与
的图象的交点为
，则
所在的区间是 
B．
C．
D．
，若直线l2经过点（0，5），且
的方程为 
B．
D．
，且
与
共线，则锐角
时，不等式
恒成立，则
上的点和圆
上的点的最短距离是 ．
，其中：
，记函数
满足条件：
的事件为A，则事件A发生的概率为______．
，其中向量
＝（
），
＝（1，
）（
）
的单调递增区间；
、
、
，
，
，
，求边长b的值．
如右图所示，四棱锥
中，底面
为正方
平面
，
，
，
分 
、
、
的中点．
平面
；
的体积．
满足
；
，证明：数列
是等比数列；
，点P为曲线
上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
上为单调增函数，求a的取值范围．
的中心在坐标原点，焦点为（-1,0）和（1,0），椭圆
与椭圆
两点（
为直径的圆过椭圆
过定点，并求出该定点的坐标．
14．
15．
16．
?
－1＝（
sin2x，cosx）?（1，2cosx）－1
≤2x＋
≤x≤kπ＋
（k∈Z）
6分
．∴边长b的值为
．
12分
；
． 4分
；
．
8分
．
．
12分
（1）证法1：如图，取
的中点
，连接
，
分别为
的中点，∴
．
分别为
的中点，∴
．
．
四点共面．………………………………………………………………2分
分别为
的中点，∴
．……………………………………4分
平面
，
平面
平面
分别为
的中点，
．……………………………………………………………2分
，∴
．又
…………………4分
，∴平面
平面
． …………………5分
平面
平面
，
平面
．
．
，∴
平面
．……………………………………………8分
，
，∴
．……………10分
，
．…………………………………12分
…………………2分
是以
为首项，2为公比的等比数列． ………………7分
………………12分
………2分
，所以所求切线的方程为：
…………4分
…………6分
， ∵
为单调增函数，∴
…………8分
…………10分
，当且仅当
时，等号成立.
…………12分
，
…………3分
椭圆的标准方程为
．
…………5分
．
得:
， …………6分
…………8分
．
为直径的圆过椭圆的右顶点
，
，即
．
…………9分
．
．
．
…………10分
，且均满足
．
…………11分
时，
的方程
，直线过点
，与已知矛盾；…………12分
时，
，直线过定点
． …………13分