2009届福建省龙岩一中高三第五次月考

数学理科

(考试时间:120分钟  满分:150分) 

命题人:张建梅  张垣功  审题人:张垣功

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)

1. 函数的定义域是(*****)

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A.         B.       C.     D.

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2. 一个几何体的三视图都是直角三角形,尺寸如图所示,则它的体积是(*****)

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A. 6    B.3   C.2     D.1

 

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                                   正视图                  侧视图                 俯视图

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3. 已知数列是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为(*****)

A.-2          B.-3           C.2                  D.3

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4.函数的最小正周期为(*****)

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A.1         B.2          C        D.

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5. 已知,则△ABC一定是(*****)

A.锐角三角形               B.直角三角形        C.钝角三角形        D.等腰直角三角形

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6.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是(*****)

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A.若,则          B.若,则

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C.若,则          D.若,则

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7.等差数列中,,,则此数列前20项和等于(*****)                                                 

A.160      B.180         C.200       D.220

 

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8.若不等式的解集为非空集合,则实数的取值范围是(*****)

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   A.      B.      C.     D.

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9.已知, 则(*****)

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A.         B.        C.         D.

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10.已知函数的图象如图(1)所示,在下列四个图象中,函数的大致图象为(*****)

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11.等差数列{}的首项=-5,它的前11项的平均值为5,若从中抽去一项,余下10项的平均值为,则抽去的项为(*****)

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 A.          B.               C.             D.

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12.已知函数,正实数成公差为正数的等差数列,且满足

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,若实数是方程的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是(***)

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  A.      B.       C.       D.

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二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)

13.若,则 ***** .

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14. 若的展开式中,只有第四项的系数最大,则展开式中常数项的值为***** .(用数字作答)

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15.有两个等差数列,它们的前项和分别为,若 ***** .

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16. 我市某旅行社组团参加香山文化一日游,预测每天游客人数在人之间,游客人数(人)与游客的消费总额(元)之间近似地满足关系:.那么游客的人均消费额最高为***** 元.

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三、解答题(共6题,共74分)

17.( 本题满分12分)

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  △ABC中,角ABC的对边分别为abc,且.

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   (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若,求△ABC的面积.

 

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18.(本题满分12分,共3小题,任选其中2题作答,每小题6分)

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 (Ⅰ)  在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积.这里M=  N=  

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 (Ⅱ) 已知x,y,z均为正数.求证:

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(Ⅲ) 过点P(-3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点.求

线段AB的长.

 

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19.(本题满分12分)

    有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子,红色骰子有两个面是8,四个面是2,蓝色骰子有三个面是7,三个面是1,两人各取一只骰子分别随机掷一次,所得点数较大者获胜.

(Ⅰ)  分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望;

(Ⅱ)求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?

 

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20.(本题满分12分)

 如图, PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形, PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

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1,3,5

  (Ⅱ)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;

   (Ⅲ) 求点A到平面EFG的距离.

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本题满分12分)

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已知函数的图象为曲线E.

(Ⅰ) 若曲线E上存在点P,使曲线EP点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;

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(Ⅱ) 说明函数可以在时取得极值,并求此时a,b的值;

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(Ⅲ) 在满足(2)的条件下,恒成立,求c的取值范围.

 

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22.(本题满分l4分)

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设正整数数列满足:,当时,有

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(I) 求的值;

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(Ⅱ)求数列的通项;

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(Ⅲ) 记,证明,对任意 .

 

 

 

 

 

 

 

 

龙岩一中2009届高三年级第五次月考高三数学

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

A

B

B

B

C

C

D

B

D

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二、填空题
13. 3; 14. 20;  15. ; 16. 40 .
三、解答题

17.解:(Ⅰ) 依题意,由正弦定理可得

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    即 

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故角A大小为60°;……………………6分

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   (Ⅱ)由余弦定理 

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    代入b + c = 4得bc = 3 故△ABC面积为 .……………………12分

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18.解:(Ⅰ)法一:在矩阵N=  的作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图

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形,在矩阵M=  的作用下,一个图形变换为与之关于直线对称的图形。

因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,

从而其面积等于△ABC的面积,即为1……………………6分

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     法二:MN=  ==

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            在矩阵MN的作用下,一个图形变换为与之关于轴对称的图形

            因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,

从而其面积等于△ABC的面积,即为1……………………6分

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(Ⅱ) 证明:因为x,y,z无为正数.所以

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同理可得

当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,

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.………………6分

 

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(Ⅲ)解:直线的参数方程为

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曲线可以化为

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将直线的参数方程代入上式,得

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设A、B对应的参数分别为,∴

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AB.……………………6分

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19.解:(Ⅰ)设红色骰子投掷所得点数为,其分布如下:

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8

2

P

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………………2分

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       ;…………………………………4分

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       设蓝色骰子投掷所得点数,其分布如下;

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7

1

P

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………………6分

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       ………………………………8分

(Ⅱ)∵投掷骰子点数较大者获胜,∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为7,

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红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是…………12分

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20.

   (Ⅰ)证明:取AB中点H,连结GH,HE,

∵E,F,G分别是线段PA、PD、CD的中点,

∴GH∥AD∥EF,

∴E,F,G,H四点共面. ……………………1分

又H为AB中点,

∴EH∥PB. ……………………………………2分

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又EH面EFG,PB平面EFG,

∴PB∥平面EFG. ………………………………4分

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∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.………5分

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     在Rt△MAE中,

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     同理,………………6分

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∴在△MGE中,

 

 

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………………7分

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故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为,………………………8分

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(Ⅲ)

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由余弦定理得

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 .设A到平面EFG的距离为,则

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A到平面EFG的距离…………………………12分

  解法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

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   (Ⅰ)证明:

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     …………………………1分

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    设

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    即

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     ……………3分

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    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 4分

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   (Ⅱ)解:∵,…………………………………………5分

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    ,……………………… 7分

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故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为………………………………8分

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(Ⅲ)   ,            

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设面的法向量不妨取

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A到平面EFG的距离=.…………………………12分

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21.解:(Ⅰ),设切点为,则曲线在点P的切线的斜率碍,由题意知有解,

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.………………………3分

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 (Ⅱ)若函数可以在时取得极值,则有两个解,即解得满足.

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∴函数可以在时取得极值,且. ………………………7分

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(Ⅲ)由(Ⅱ),得. 根据题意,()恒成立.

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∵函数)由

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 列如下表格:

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(-2,-1)

-1

(-1,3)

3

(3,6)

6

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0

0

 

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极大值5

极小值

54

 

 

 

 

 

 

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时有极大值,且在端点处的值为.

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∴函数)的最大值为.   ∴.…………12分

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22.解(Ⅰ)时,,由已知,得

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因为为正整数,所以,同理………………………………2分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想:。………………………………………………3分

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证明:①时,命题成立;

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②假设当时成立,即。……………4分

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于是,整理得:,……………………………5分

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由归纳假设得:,…………………6分

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因为为正整数,所以,即当时命题仍成立。

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综上:由知①②知对于,有成立.………………………………7分

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(Ⅲ)证明:由          ③

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      得           ④

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③式减④式得       ⑤…………………9分

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              ⑥

⑤式减⑥式得

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           …………………11分

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…………13分

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 .……………………………………………………14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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