2009年广东省东莞高级中学下学期高三第一次模拟数学本试卷共4页.21小题.满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的——青夏教育精英家教网——

2009年广东省东莞高级中学下学期高三第一次模拟

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：如果事件互斥，那么．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则（i）（ i）=

A．0 B．1 C．2 D．2i

2．在等比数列｛a_n｝中，已知，则

A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32

3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为

A． B． C． D．

4．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为

A． B． C. D．

5. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，

则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

A．65 B．64

C．63 D．62

6. 命题“”的否命题是

A. B.

C. D.

7．图2为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三

角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为

A．6 B．12

C．24 D．32

8. 已知抛物线的方程为，过点和点的直

线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是

A. B.

C. D.

(一)必做题（9~ 12题）

二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9. 函数的定义域为 .

10. 在的二项展开式中，x³的系数是_______________．（用数字作答）

11.在如图3所示的算法流程图中，输出S的值为 .

12. 已知变量满足约束条件若目标函数仅在点

处取得最小值, 则实数的取值范围为 .

图3

(二) 选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）

13．（不等式选讲选做题）不等式的解集是______________．

14．(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），

以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_________ ．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，是圆外一点，

过引圆的两条割线PAB、PCD，PA = AB =，

CD = 3，则PC =____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分12分)

已知R.

（1）求函数的最小正周期;

（2）求函数的最大值，并指出此时的值．

17．（本小题满分12分）

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．

抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，

则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（1）求这箱产品被用户接收的概率；

（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．

点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，

使⊥，连结、．

（1）求证：⊥；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19. (本小题满分14分)

设椭圆的离心率为=,点是椭圆C上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆的方程；

（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.

20.（本小题满分14分）

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

…………………………

图6

设（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、

从左往右数第j个数. 数表中第行共有个正整数.

（1）若＝2010，求i、j的值；

（2）记N*),

试比较与的大小, 并说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数 (R)．

(1) 当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

2008-2009学年度东莞高级中学第一次月考

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9． 10． 11． 12.

13. 14． 15．2

说明：第14题答案可以有多种形式，如可答或Z等, 均给满分.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分12分)

解：（1）∵

……2分

……4分

. ……6分

∴. ……8分

(2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . ……10分

此时，即Z. ……12分

17．(本小题满分12分)

解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，. ……3分

即这箱产品被用户接收的概率为． ……4分

（2）的可能取值为1，2，3． ……5分

=，

=，

=， ……8分

∴的概率分布列为：

1

2

3

……10分

∴=． ……12分

18．(本小题满分14分)

解：（1）∵点A、D分别是、的中点，

∴. ……2分

∴∠=90º.

∴.

∴ ,

∵,

∴⊥平面. ……4分

∵平面,

∴. ……6分

（2）法1：取的中点，连结、．

∵,

∴.

∵,

∴平面.

∵平面,

∴. ……8分

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角. ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

. ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是. ……14分

法2：建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）, ……8分

设平面的法向量为=（x，y，z），则：

， ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

显然，是平面的一个法向量，=（）． ……12分

∴cos<，>=．

∴二面角的平面角的余弦值是. ……14分

19. (本小题满分14分)

解:(1)依题意知, ……2分

∵,

∴. ……4分

∴所求椭圆的方程为. ……6分

（2）∵ 点关于直线的对称点为，

∴ ……8分

解得：，. ……10分

∴. ……12分

∵ 点在椭圆:上,

∴, 则.

∴的取值范围为. ……14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）数表中前行共有个数，

即第i行的第一个数是， ……2分

∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11． ……4分

令,

解得． ……6分

（2）∵

． ……7分

∴．

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, 猜想: . ……11分

下面用数学归纳法证明猜想正确.

① 当时,, 即成立;

② 假设当时, 猜想成立, 即,

则,

∵,

∴.

即当时，猜想也正确.

由①、②得当时, 成立.

当时,. ……13分

综上所述, 当时, ; 当时,. ……14分

另法( 证明当时, 可用下面的方法):

当时, C + C + C+ C

.

21. (本小题满分14分)

解：（1）当时，，

∴.

令=0, 得 . ……2分

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增. ……4分

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为. ……6分

（2） ∵ = ，

∴△= = .

① 若a≥1，则△≤0， ……7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .

∵f（0），,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ……9分

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂= 2，x₁x₂= a．

当变化时，的取值情况如下表：

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

……11分

∵,

∴.

∴