北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一) 

高三数学(理科)

 

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。

 

第Ⅰ卷(选择题   共40分)

 

注意事项:

1、  答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2、   每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。

 

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.若将复数表示为是虚数单位)的形式,则的值为                (   )

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 A.-2              B.            C.2                  D.

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2.命题甲“”,命题乙“”,那么甲是乙成立的(   )

A.充分不必要条件                     B.必要不充分条件

C.充要条件                           D.既不充分也不必要条件

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3.设轴上两点,点的横坐标为2,且,若直线的方程为,则直线

方程为  (   )             

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A.                        B.     

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  C.                        D.

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4.若非零向量满足,则下列不等关系一定成立的是 (   )

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A.                      B.   

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 C.                      D.

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5.已知函数的图像在点处的切线与直线平行,数列的前项和为,则的值为(   )

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A.              B.           C.            D.

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6.数列共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有(   )

A.24个            B.60个          C.72个               D.120个

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7.已知命题:“,则”成立,那么字母在空间所表示的几何图形不能(   )

A.都是直线                            B.都是平面     

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C.是直线,是平面                  D.是平面,是直线

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8.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式的解集为(   )

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A.         

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B.

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C.        

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D.  

 

北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一)

高三数学(理科)

第Ⅱ卷(共110分)

注意事项:

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1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

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2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号

               三

总分

1--8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

分数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

得分

评卷人

 

 

 

 

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  二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。

9.若,则a=           .

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10.若二项式的展开式共7项,则该展开式中的常数项为_____.

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11.如图,已知为正六边形,若以为焦点的

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双曲线恰好经过四点,则该双曲线的离心率为

           .

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12.关于函数,给出下列三个命题:

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(1)  函数在区间上是减函数;

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(2)   直线是函数的图象的一条对称轴;

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(3)   函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到.

其中正确的命题序号是                  .(将你认为正确的命题序号都填上)

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13.已知正三棱锥的四个顶点都在同一球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.若正三棱锥的高为1,则球的半径为_________,两点的球面距离为________.

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14.已知是奇函数,且对定义域内任意自变量满足,当时,,则

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时,=______________;当时,________________.

 

 

 

 

得分

评卷人

 

 

 

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三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

 

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已知递增的等比数列满足,且的等差中项.

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(Ⅰ)求数列的通项公式;

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(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.

 

 

 

 

 

得分

评卷人

 

 

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16.(本小题满分13分)

 

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在△中, ,.

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)若,求.

 

 

得分

评卷人

 

 

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17.(本小题满分14分)

 

 

试题详情

如图,是边长为2的正方形,是矩形,且二面角是直二面角,的中点.

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(Ⅰ)求证:平面⊥平面

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(Ⅱ)求与平面所成角的大小;

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(Ⅲ)求二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

                                                             

                                                   

得分

评卷人

 

 

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18. (本小题满分13分)

  

 

试题详情

甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据, 甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:

 

 

                                      

 

 

 

 

 

若将频率视为概率,回答下列问题:

(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率;

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(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次, 表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求的分

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布列及数学期望.

 

 

得分

评卷人

 

 

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19.(本小题满分14分)

 

试题详情

如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,中点.

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(Ⅰ)当垂直时,求证:过圆心

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(Ⅱ)当时,求直线的方程;

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(Ⅲ)设,试问是否为定值,

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若为定值,请求出的值;若不为定值,

请说明理由.

 

 

 

 

 

 

得分

评卷人

 

 

试题详情

20.(本小题满分13分)

 

 

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的两个极值点,的导函数.

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(Ⅰ)如果,求的取值范围;

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(Ⅱ)如果,,求证:;

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(Ⅲ)如果,且时,函数的最大值为,求的最小值.                              

 

北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一)

试题详情

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.A     2.D     3.D     4.C     5.C    6.B    7.C    8.A

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

9.                  10.60                   11.   

12.(1) (2)               13.1,                  14.,

注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设等比数列的公比为,依题意有,    (1)

,将(1)代入得.所以.

于是有                             ………………3分

解得                             ………………6分

是递增的,故.                   ………………7分

所以.                                         ………………8分

   (Ⅱ),.                     ………………10分

故由题意可得,解得.又, …………….12分

所以满足条件的的最小值为13.                           ………………13分

16. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)由,

   所以.                     …………………4分

   于是. …………7分

  

(Ⅱ)由正弦定理可得,

     所以.                                …………………….10分

.         ………………11分

,

解得.即=7 .                                           …………13分

17.(本小题满分14分)

解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴

又二面角是直二面角,

⊥平面.

平面

.

是矩形,的中点,

==

=

⊥平面

平面,故平面⊥平面          ……………………5分

 (Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知平面⊥平面,且交于,在平面内作,垂足为,则⊥平面.

        ∴∠与平面所成的角.                ……………………7分

∴在Rt△中,=.  

 .  

与平面所成的角为 .                 ………………………9分

   (Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面.作,垂足为,连结,则

        ∴∠为二面角的平面角.             ……………………….11分

∵在Rt△中,=,在Rt△中, .

∴在Rt△中,     ………13分

即二面角的大小为arcsin.          ………………………………14分

 

解法二:

如图,以为原点建立直角坐标系

(0,0,0),(0,2,0),

(0,2,2),,0),

,0,0).

   (Ⅰ) =(,0),=(,0),

         =(0,0,2),

?=(,0)?(,0)=0,

 ? =(,0)?(0,0,2)= 0.

⊥平面,又平面,故平面⊥平面. ……5分

   (Ⅱ)设与平面所成角为.

        由题意可得=(,0),=(0,2,2 ),=(,0).

        设平面的一个法向量为=(,1),

        由.

          .

与平面所成角的大小为.            ……………..9分

   (Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面的一个法向量,

        又⊥平面,平面的一个法向量=(,0,0),

        ∴设的夹角为,得

        ∴二面角的大小为.      ………………………………14分

18. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则

.                            ……………….3分

甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为

.                            …………………5分

所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为

.                               ………………6分

    (Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则

                        …………………8分

由已知的可能取值是0,1,2.                       …………………9分

;

;

.

的分布列为

0

1

2

0.05

0.35

0.6

                                               ………………………12分

所以

故所求数学期望为.                          ………………………13分

19. (本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由已知 ,故,所以直线的方程为.

      将圆心代入方程易知过圆心 .      …………………………3分

        (Ⅱ) 当直线轴垂直时,易知符合题意;        ………………4分

当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,

所以,解得.

故直线的方程为.        ………………8分

        (Ⅲ)当轴垂直时,易得,,又

,故. 即.                   ………………10分

的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

.则

,即,

.又由,

.

.

综上,的值为定值,且.                …………14分

另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又,

故△∽△.于是有.

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