北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一)
高三数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1、 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若将复数表示为,是虚数单位)的形式,则的值为 ( )
A.-2 B. C.2 D.
2.命题甲“”,命题乙“”,那么甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设为轴上两点,点的横坐标为2,且,若直线的方程为,则直线的
方程为 ( )
A. B.
C. D.
4.若非零向量满足,则下列不等关系一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的图像在点处的切线与直线平行,数列的前项和为,则的值为( )
A. B. C. D.
6.数列共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )
A.24个 B.60个 C.72个 D.120个
7.已知命题:“∥,则”成立,那么字母在空间所表示的几何图形不能( )
A.都是直线 B.都是平面
C.是直线,是平面 D.是平面,是直线
8.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一)
高三数学(理科)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
1--8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分数
得分
评卷人
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。
9.若,则a= .
10.若二项式的展开式共7项,则该展开式中的常数项为_____.
11.如图,已知为正六边形,若以为焦点的
双曲线恰好经过四点,则该双曲线的离心率为
.
12.关于函数,给出下列三个命题:
(1) 函数在区间上是减函数;
(2) 直线是函数的图象的一条对称轴;
(3) 函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到.
其中正确的命题序号是 .(将你认为正确的命题序号都填上)
13.已知正三棱锥的四个顶点都在同一球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.若正三棱锥的高为1,则球的半径为_________,两点的球面距离为________.
14.已知是奇函数,且对定义域内任意自变量满足,当时,,则
当时,=______________;当时,________________.
得分
评卷人
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.
得分
评卷人
16.(本小题满分13分)
在△中, ,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求.
得分
评卷人
17.(本小题满分14分)
如图,是边长为2的正方形,是矩形,且二面角是直二面角,,是的中点.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角的大小.
得分
评卷人
18. (本小题满分13分)
甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据, 甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:
若将频率视为概率,回答下列问题:
(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率;
(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次, 表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求的分
布列及数学期望.
得分
评卷人
19.(本小题满分14分)
如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,是中点.
(Ⅰ)当与垂直时,求证:过圆心;
(Ⅱ)当时,求直线的方程;
(Ⅲ)设,试问是否为定值,
若为定值,请求出的值;若不为定值,
请说明理由.
得分
评卷人
20.(本小题满分13分)
设是的两个极值点,为的导函数.
(Ⅰ)如果,求的取值范围;
(Ⅱ)如果,,求证:;
(Ⅲ)如果,且时,函数的最大值为,求的最小值.
北京市东城区2008-2009学年度综合练习(一)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9. 10.60 11.
12.(1) (2) 13.1, 14.,
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为,依题意有, (1)
又,将(1)代入得.所以.
于是有 ………………3分
解得或 ………………6分
又是递增的,故. ………………7分
所以. ………………8分
(Ⅱ),. ………………10分
故由题意可得,解得或.又, …………….12分
所以满足条件的的最小值为13. ………………13分
16. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由 且,
所以. …………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以. …………………….10分
由得. ………………11分
即,
解得.即=7 . …………13分
17.(本小题满分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面.
∵平面,
∴⊥.
又,,是矩形,是的中点,
∴=,,=,
∴⊥又=,
∴⊥平面,
而平面,故平面⊥平面 ……………………5分
(Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知平面⊥平面,且交于,在平面内作⊥,垂足为,则⊥平面.
∴∠是与平面所成的角. ……………………7分
∴在Rt△中,=.
.
即与平面所成的角为 . ………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面.作⊥,垂足为,连结,则⊥,
∴∠为二面角的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,=,在Rt△中, .
∴在Rt△中, ………13分
即二面角的大小为arcsin. ………………………………14分
解法二:
如图,以为原点建立直角坐标系,
则(0,0,0),(0,2,0),
(0,2,2),(,,0),
(,0,0).
(Ⅰ) =(,,0),=(,,0),
=(0,0,2),
∴?=(,,0)?(,,0)=0,
? =(,,0)?(0,0,2)= 0.
∴⊥,⊥,
∴⊥平面,又平面,故平面⊥平面. ……5分
(Ⅱ)设与平面所成角为.
由题意可得=(,,0),=(0,2,2 ),=(,,0).
设平面的一个法向量为=(,,1),
由.
.
∴与平面所成角的大小为. ……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面的一个法向量,
又⊥平面,平面的一个法向量=(,0,0),
∴设与的夹角为,得,
∴二面角的大小为. ………………………………14分
18. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则
. ……………….3分
甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为
. …………………5分
所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为
. ………………6分
(Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2. …………………9分
;
;
.
的分布列为
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求数学期望为. ………………………13分
19. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故,所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心 . …………………………3分
(Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,
所以由,解得.
故直线的方程为或. ………………8分
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则
,故. 即. ………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
,即,
.又由得,
则.
故.
综上,的值为定值,且. …………14分
另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,
故△∽△.于是有.
由得
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com