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高三数学试卷（文）（2009.4）
命题学校：九江一中 邵学兵 邵继享 审题学校：邹小浩 许忠华
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员答题卡收回．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则（ ）
试题详情
A． B．
C． D．
2.若,且, 则值为（ ）
A． B． C． D．
3.奇函数的反函数是，若，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
4. 设为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：
若，则∥； 若，则；
若，则∥； 若∥且∥则．
其中正确的命题个数是（ ）
5. 若函数的导函数,则函数的单调递减区间是( )
A． B． C. D．
6. 若的展开式中含的项为第项，设则其展开式中奇次项系数的和为（ ）
7.已知图甲中的图像对应的函数，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是 ( )
甲 乙
8. 投掷一个质地均匀的骰子两次（骰子六个面上的数字分别为），第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则使不等式成立的事件发生的概率等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知椭圆的离心率为，两焦点为，抛物线以为顶点，F2为焦点，为两曲线的交点，若，则的值为（ ）
10. 方程两根为，则满足关系式（ ）
11.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则（ ）
A.501 B.502 C.503 D.504
12.已知如图，的外接圆的圆心为,,
则等于（ ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填答题卷中相应的横线上．
13.在条件下，函数的最小值是 ．
14.已知如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则图中所给的球面与正方体的表面相
交所得到的弧的长等于 _________ ．
15.已知等差数列的前n项和为，且，记，如果存在正整数，使得对一切正整数，都成立．则的最小值是_______
16.关于函数，有下列命题：
①函数的最小正周期是，其图像的一个对称中心是；
②函数的最小值是，其图象的一条对称轴是；
③函数的图象按向量平移后所得的函数是偶函数；
④函数在区间上是减函数
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本题满分12分）已知函数的图象经过点，且当时，的最大值为．
(1)求的解析式；
(2)是否存在向量，使得将的图象按照向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个；若不存在，请说明理由．
18.(本小题满分12分)某校奥赛辅导班报名正在进行，甲、乙、丙、丁四名学生跃跃欲试，现有四门学科(数学、物理、化学、信息技术)可供选择，每位学生只能任选其中一科．
（1）求恰有两门学科被选择的概率；
（2）已知报名后，丁已指定被录取．另外，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，丙被录取的概率为，求甲、乙、丙三人中至少有两人被录取的概率．
19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面, 为等边三角形，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式； （2）若，设求数列的前项和.
21. (本小题满分12分)如图，已知抛物线和直线，点在直线上移动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，线段的中点为.
（1）求点的轨迹；
（2）求的最小值；
22.（本小题满分14分）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
年江西省八校联合考试数学（文）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
二、填空题
13. 14. 15. 16. ①②③
三、解答题
17. (1)由得：， ……………………………… 2分
即， ……………… 4分
当时，，
因为，有，，得
故 …………………………… 8分
(2)∵是奇函数，且将的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位，可以得到的图象，∴是满足条件的一个平移向量．……12分
18. 解：（1）恰有两门学科被选择的概率为
………………………………6分
（2）至少有两人被录取的概率为
19. 解：(1)即
又平面平面
………………4分
（2）
∴点到平面的距离即求点到平面的距离
取中点，连结
∵为等边三角形
∴
又由（1）知
又
∴点到平面的距离即点到平面的距离为………………8分
（3）二面角即二面角
过作，垂足为点,连结
由（2）及三垂线定理知
∴为二面角的平面角
由∽得
…12分
解法2：(1)如图，取中点，连结
又∵平面平面
建立空间直角坐标系，则有
,
即………………4分
(2)设平面的一个法向量为
由得令得
∥∴点到平面的距离即求点到平面的距离
………………………………8分
(3)平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
，
∴二面角的大小为…………………………………12分
20. 解：（1）由题意知
当时，
当
两式相减得（）
整理得：（） ………………………………………………4分
∴数列是为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………5分
（2） ………………………………6分
…… ①
…… ②
①－②得 ……………9分
………………………11分
………………………………………………………12分
21. 解：（1）由得，∴
设，则,
∴ 即
同理，有,
∴为方程的两根
∴. 设，则 ①
②
由①、②消去得点的轨迹方程为. ………………………………6分
又，由函数的单调性知
当时，，． ………………………………12分
22. 解：（1）
………………………………………………………………………3分
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
－
此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，
＋
―
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
互斥，那么 球的表面积公式
表示球的半径
球的体积公式
在一次试验中发生的概率是
，那么 
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中
，则
（ ）
B．
D．
,且
, 则
值为（ ）
B．
C． 
D．
的反函数是
，若
，则
的值是（ ）
C．
D．无法确定
为不同的直线，
为不同的平面，有如下四个命题：
，则
∥
； 若
，则
；
，则
； 若
∥
∥
．
B．
C． 
D．
的导函数
,则函数
的单调递减区间是( )
B．
C.
D．
的展开式中含
的项为第
则其展开式中奇次项系数的和为（ ）
B．
C．
D．
已知图甲中的图像对应的函数
，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是 ( )
B．
C．
D．
），第一次得到的点数为
，第二次得到的点数为
，则使不等式
成立的事件发生的概率等于（ ）
B.
C.
D.
的离心率为
，两焦点为
，抛物线
以
为顶点，F2为焦点，
为两曲线的交点，若
，则
B.
C.
D.
两根为
，则
满足关系式（ ） 
B．
C．
D．
的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则
（ ）
12.已知如图，
的外接圆的圆心为
,
, 
等于（ ）
B．
C．
下，函数
的最小值是
．
的棱长为
，以顶点
为球心，
交所得到的弧
的长等于 _________ ．
的前n项和为
，且
，记
，如果存在正整数
，使得对一切正整数
都成立．则
，有下列命题：
，其图像的一个对称中心是
；
，其图象的一条对称轴是
；
平移后所得的函数是偶函数；
上是减函数
的图象经过点
，且当
时，
的最大值为
．
，使得将
；若不存在，请说明理由．
，乙被录取的概率为
，丙被录取的概率为
，求甲、乙、丙三人中至少有两人被录取的概率．
19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，平面
平面
, 
为等边三角形，
． 
； 
到平面
的距离； 
的大小．
的前
，且
成等差数列. 
的通项公式； （2）若
，设
求数列
的前项和
.
21. (本小题满分12分)如图，已知抛物线
和直线
，点
在直线
上移动，过点
，线段
的中点为
的最小值；
处取得极值，且
，求
，讨论曲线
的交点个数．
年江西省八校联合考试数学（文）
14. 
15.
得：
， ………………………………
2分
，
………………
4分
时，
，
，有
，
，得
…………………………… 8分
(2)∵
是奇函数，且将
个单位，再向上平移1个单位，
的图象，∴
是满足条件的一个平移向量．……12分
………………………………6分
即
………………4分
中点
，连结
∴
………………8分
，垂足为点
为二面角
∽
得
…12分
中点
，则有
,
即
………………4分
的一个法向量为
得
令
得
∥
∴点
………………………………8分
的一个法向量为
，
得
令
得
…………………………………12分
时，
（
）
（
为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………5分
………………………………6分
…… ①
…… ②
……………9分
………………………11分
………………………………………………………12分
得
，∴
，则
, 
即
,
为方程
的两根
. 设
，则
①
②
得点
. ………………………………6分
，由函数的单调性知
时，，
． ………………………………12分
………………………………………………………………………3分
得
得
，
，单调递减区间为
…………5分
得
……………………6分
得
或
……………………………………………7分
即
时
，
即
时，
,
时,有一个交点；
即
时，有两个交点；
时，
，有一个交点．………………………13分
或