郑州一中.开封高中.洛阳一高.信阳高中2009届高三年级四校联考数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试结束后.将第Ⅱ卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷——青夏教育精英家教网——

郑州一中、开封高中、洛阳一高、信阳高中

2009届高三年级四校联考

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题

1．“|x|＜2”是x²―x―6＜0的（）

A．充分而不必条件 B．既不充分也不必要条件

C．充要条件 D．必要而不充分条件

2．若（）ⁿ的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）

A．45 B．90 C．180 D．360

3．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A．（） B． C．（） D．

4．已知两条异面直线a、b所成的角为40°，直线l与a、b所成的角都等于θ，则θ的取值范围是（）A． B． C． D．

5．设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，∠C=120°，则tanA?tanB的值为（）

A． B． C． D．

7．若随机变量ξ服从正态分布ξ～N（3，2）η=，则随机变量η的期望是（）A．0 B． C． D．

8．如果△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值分别是△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值，则（）

A．△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂都是锐角三角形

B．△A₁B₁C₁是钝角三角形，△A₂B₂C₂是锐角三角形

C．△A₁B₁C₁是锐角三角形，△A₂B₂C₂是钝角三角形

D．△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂都是钝角三角形

9．数列a_n中，（）

A． B． C． D．

10．函数在定义域R内可导，若＜0，设则（）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a

11．下列说法正确的有：

①命题：“a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“ a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”

②若等式都成立，则角

③若

④椭圆到左焦点的距离等于3，则P到右准线的距离是5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．n是正数，若对于任意大于2008的实数x，总有成立，则n的取值范围为（）

A． B．0

C．0 D．

二、填空题．

13．若，则。

14．如果把个位数字是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中“好数”共有个。

15．已知实数x,y满足的最大值为21，则常数m的值为。

16．已知命题：

①函数在（0，+）是减函数；

②函数的定义域为为极值点的既不充分又不必要条件；

③在平面上，到定点（2，1）的距离是与到定值直线距离相等的点的轨迹是抛物线；

④函数的最小周期是π；

⑤已知方向上的投影是4。

其中正确命题的序号是。

第Ⅱ卷

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知

（1）若A、B、C为△ABC的三内角，当y取得最小值时，求C；

（2）当时，将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求出所有满足条件的向量；

18．甲有一个放有3个红球，2个白球，1个黄球共6个球的箱子，乙也有放有3个红球，2

个白球，1个黄球的共6个球的箱子

（1）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得红球为止，求甲取球次数ξ的数学期望；

（2）若甲、乙两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时甲胜，异色时乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由。

19．如图P―ABCD是正四棱锥，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐角二面角θ的大小；

（3）求点B₁到平面PAD的距离。

20．某商场预计2009年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)（单位：件）与x的关系近似地满足，该商品第x月的进货单价q(x)（单位：元）与x的近似关系是

（1）写出今年第x月的需求量f(x)件与x的函数关系式；

20090225

21．在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为

（1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；

（2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求|的最小值的集合。

22．设数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）对一切，证明：成立；

（3）记数列的前项和分别为，证明：2B_n－A_n＜4。

一、选择题

1―5 ACDAA 6―10 BACDB 11―12 AC

二、填空题

13．- 14．12 15．-4或-26 16．②④

三、解答题

17．（1）由题意：

又A+B

（2）当A+B=时，2A+2B=

按向量平移后得到函数的图象；故 10分

18．解：（1）ξ的可能取值为1，2，3，4

（2）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C（种）不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，

则P（A）=

甲获胜的概率小于乙获胜的概率，不公平。 12分

19．解法：（1）连结AC交BD于点O，则PO⊥面ABCD，又AC⊥BD

PA⊥BD，₁D₁，PA⊥B₁D₁

（2）AO⊥BD，AO⊥PO，AO⊥面PBD，过点O作OM⊥PD于M，连结AM，则AM⊥PD

∠AMO就是二面角A－PD－O的平面角θ，又AB=2，

PA=

8分

（3）分别取AD、BC中点E、F，作平面PEF，交底面于两点S、S₁交B₁C₁于点B₂，过点B₂作B₂B₃⊥PS于点B₃，则B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁//AD，B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离，PO=AA₁=2

EF=

12分

_{方法二，坐标法略}

₂₀_{．解：（1}_）当x=1_时，

_且x=1_{时也符合上式}

_{故 6}_分

_（2_{）该商场预计第x}_{月销售该商品的月利润为}

_（舍）

_当1_≤x_＜5_{时， 10}_分

当x=5时，元 10分

综上，商场2009年第5月份的月利润最大为3125元。 12分

21．解：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

设|CA|+|CB|=2a(a＞3)，点c的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且焦距2c=|AB|=6

此时|PA|=|PB|，P（0，±4）

5分

（2）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)

①当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为：

代入椭圆方程化简得：

显然

由椭圆第二定义得：

=25+

只要考虑：的最小值，即1

显然当k=0时，的最小值16。 10分

②当直线MN的倾角为90°时，x₁=x₂=－3，得=

这样的M、N不存在

即的最小值集合为空集。 12分

22．解（1）：由

即数列为公正比的等比数列

4分

（2）

即要证明：成立

令

即是减函数，故

都成立

故成立 8分

（3）

利用错位相减法求得：

故 12分