安徽省巢湖市2009届高三第二次教学质量检测数学试题命题人: 庐江二中孙大志柘皋中学孙平巢湖四中胡善俊参考公式:1.球的表面积公式.其中表示球的半径.2.球的体积公式.——青夏教育精英家教网——

安徽省巢湖市2009届高三第二次教学质量检测

数学（文科）试题

命题人：庐江二中孙大志柘皋中学孙平巢湖四中胡善俊

参考公式：

1.球的表面积公式，其中表示球的半径.

2.球的体积公式，其中表示球的半径.

3.柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.

4.锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.

5.圆柱的表面积公式，其中表示圆柱的底面半径，表示圆柱的高.

6. 线性回归方程中的的计算公式.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

1. 已知集合等于 A．{5} B．{2，8} C．{1，3，7} D．

2. 已知复数，则对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 等差数列的前项和为，若，则

A.1004 B.2008 C.2009 D.2010

4. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是

A．若a＞b，则ac²＞bc²　　　　　B．若a＜b＜0，则a²＞ab＞b²

C．若a＜b＜0，则＜　　　 D．若a＜b＜0，则＞

5．已知双曲线以坐标原点为顶点，以曲线的顶点为焦点的抛物线与曲线的渐近线的一个交点坐标为（4，4），则双曲线的离心率为

A. . C. D. A.

6. 下列结论；

①已知命题R，，则R, ；

②是周期为的必要条件；

③“，使得”是假命题,则；

其中正确的是

A._③ B._①② C._②③ D._①②③

7. 函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于直线对称

8. 已知向量，则的最小值为

A.₁ B. C. D.

9. 下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

A. B. 　　C. 　　D.

10. 某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6（单位：万元），用线性回归分析估计该厂五月份的利润为

A．6.5万元 B．7万元 C．7.5万元 D． 8万元

11. 已知集合，集合，若向区域内投一点,则点落在区域内的概率为

A. B. C. D.

12. 已知函数是上的偶函数，且，当，则函数的零点个数（）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填写在答题卷上相应的位置.只需写出最后结果，不必写出解题过程.

13. .

14. 直线：被圆：截得的弦长为 .

15. 圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切．若圆柱内切球的体积为，则圆柱的表面积为 .

16. 已知幂函数的图像过定点且点在直线则的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知向量，设

（Ⅰ）求函数在上的零点；

（Ⅱ）设的内角的对边分别为，已知，求边的值．

、

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：

(Ⅰ) 求证： AD⊥PD；

(Ⅱ) 若M为PB的中点，试判断直线CM与平面PDA是否平行，并说明理由；

(Ⅲ) 若PB=1，求三棱锥A-PDC的体积．

19. （本小题满分12分）

巢湖市教育局规定：初中升学须进行体育考试，总分30分，成绩计入初中毕业升学考试总分，还将作为初中毕业生综合素质评价“运动和健康”维度的实证材料．为了解九年级学生的体育素质，某校从九年级的六个班级共420名学生中按分层抽样抽取60名学生进行体育素质测试．

(Ⅰ) 若九（1）班现有学生70人，按分层抽样，则九（1）班应抽取学生多少人？

(Ⅱ)下列是九年级（1）、（2）班所抽取学生的体育测试成绩的茎叶图

九（1）九（2）

9 0

3 2 6 5 1 1 6 4 5 6 3 0

1 5 0 3 2 1 0 3 4

根据茎叶图估计九（1）、九（2）班学生体育测试的平均成绩；

(Ⅲ)已知另外四个班级学生的体育测试的平均成绩： 17.3 16.9 18.4 19.4．若从六个班级中任意抽取两个班级学生的平均成绩作比较，求平均成绩之差的绝对值不小于1的概率．

20. （本小题满分12分）

圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线. 如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：

已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

① 过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；

② 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使为的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）若函数的图像在处的切线与直线垂直,求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数的极值．

22. （本小题满分13分）

已知数列满足，.

（Ⅰ）若，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，设，求数列的前项和；

（Ⅲ）是否存在实数，使数列满足不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

巢湖市2009届高三第二次教学质量检测

一、 C B C B B AC D A B C D

二、13. 14. 15. 16.3

三、17（Ⅰ）

= =

由得，或

由得或.

故函数的零点为和. ……………………………………6分

（Ⅱ）由，得

由得 .又

由得

，

……………………………………12分

18. 由三视图可知：，底面ABCD为直角梯形,， BC=CD=1,AB=2

（Ⅰ）∵ PB⊥DA，梯形ABCD中，PB=BC=CD=1,AB=2 ∴BD=

又可得DA=，∴DA⊥BD ，∴DA⊥平面PDB，

∴ AD⊥PD ……………………………4分

(Ⅱ) CM∥平面PDA 理由如下：

取PB中点N,连结MN，DN，可证MN∥CD且MN＝CD，∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA

…………8分

(Ⅲ)

……………12分

19. （Ⅰ）九年级（1）班应抽取学生10名； ………………………2分

（Ⅱ）通过计算可得九（1）班抽取学生的平均成绩为16.5，九（2）班抽取学生的平均成绩为17.2.由此可以估计九（1）班学生的平均成绩为16.5，九（2）班学生的平均成绩为 17.2 ………………………6分

（Ⅲ）基本事件总数为15，满足条件的事件数为9 ，故所求事件的概率为

………………………………12分

20. （Ⅰ）证明设

相减得

注意到

有

_即…………………………………………5分

（Ⅱ）①设

由垂径定理，

即

化简得

当与轴平行时，的坐标也满足方程.

故所求的中点的轨迹的方程为；

…………………………………………8分

② 假设过点P作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则

由于

直线，即，代入曲线的方程得

故这样的直线不存在. ……………………………………12分

21.（Ⅰ）函数的定义域为

由题意易知，得 ;

当时，当时，

故函数的单调增区间为，单调减区间为. …………………………6分

（Ⅱ）

① 当时，在递减，无极值.

② 当时，由得

当时，当时，

时，函数的极大值为

_;

函数无极小值. …………………………13分

22.（Ⅰ）

…………………………………………4分

（Ⅱ） ,

……………………………8分

（Ⅲ）假设

记，可求

故存在，使恒成立.

……………………………………13分