2009年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数 学 试 卷（文 科）
第一卷：选择题
一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．若集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“直线
和直线
互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设｛an｝是等差数列，若
，
，则数列｛an｝前8项的和为（ ）
A．128 B．
4．函数
，若f(a)=2，则
的值为（ ）
A．3 B．0 C．
D．
5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
6．如图，在长方体
中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1
与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
7.将函数
的图象F向右平移
个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线
则
的一个可能取值是
A.
B.
C.
D.
8. 函数
的定义域为
A.
B. 
C.
D.
9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为
A.100 B.110 C.120 D.180
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用
和
分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①
②
③
④
其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
11．定义在
上的函数
满足
（
），
，则
等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为
（
），传输信息为
，其中
，
运算规则为：
，
，
，
，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二．填空题(4×4′=16分)：
13．若二项式
的展开式中含
的是第三项，则n的值是
14．已知实数x,y满足
，则
的最小值为
15．已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a= .
16.在长度为 a 的线段内任取两点将其分成三段，则它们可以构成一个三角形的概率为
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
.
（I）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；
（II）当a<0且x
[0, π]时，函数f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙两条轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘船都不需要等侯码头空出的概率？
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥
的底面
是边长为1的菱形，
，E是CD的中点，PA
底面ABCD，
。
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A―BE―P和的大小。
 |
20．（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，判断函数
上的单调性；
（Ⅱ）当
时，求函数
上的最大值.
21．己知双曲线C:
过点A(
)作直线
与双曲线C交于P,Q两点，若PQ的长等于双曲线C的实轴长的3倍，求直线
的斜率.
22．（本题满分
分）已知数列
满足：
且
，
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
；
西工大附中2009届高考数学模拟试题（四）（文）
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D7.A 8.D 9.B 10.B
11.A 12.C
二、填空题：13、4 14．
15．
16.
三、解答题：
17.解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=
(2分)
（１）当a=1时，f(x)= 
,
当
时，f(x)是增函数，所以f(x)的单调递增区间为
（6分）
（２）由
得
，∴
∴当sin(x+
)=1时，f(x)取最小值3，即
，
当sin(x+)=
时，f(x)取最大值4，即b=4.
（10分）
将b=4 代入上式得
，故a+b=
（12分）
18．解：设甲、乙两条船到达的时刻分别为x,y.则
若甲先到，则乙必须晚1小时以上到达，即
若乙先到达，则甲必须晚2小时以上到达，即
作图，(略).利用面积比可算出概率为
.
19．
解：（I）如图所示, 连结
由
是菱形且
知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又
所以
又因为PA
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
而
因此 
平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 
平面PAB, 所以
又
所以
是二面角
的平面角．
在
中, 
．
故二面角的大小为
20．解：
（1）
.
上是增函数.
（2）
（i）
当
的单调递增区间是
（ii）
当
当
的单调递增区间是
单调递减区间是
. 所以，
的单调递增区间是
单调递减区间是
.
由上知，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=2
又b>1，由2=b3－3b，解得b=2.
所以，
时取得最大值f（1）=2.
当
时取得最大值
.
|
上的最大值为
:
代入
得
设P(
),Q
整理，
此时，
，
，
，
． ……………2分
为奇数时，
，即数列
的奇数项成等差数列，
；
………………4分
，即数列
．
……………………6分
． ……… 7分
，
………………8分
……（1）
（2）
…………10分
．
．
……………………12分