2006－2007学年度南通市九校（学科基地）联考
（南通中学 南通市一中 海门中学 启东中学 通州中学 如东中学 如皋中学 海安中学 ?茶中学)
数 学 试 卷
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
4、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图阴影部分所表示的集合是
A．CIA∩B B．A∩CIB
C．CIA∪B D．A∪CIB
2．已知点P为圆x2+y2－2x+2y=0的圆心，则点P到直线x－y＋1＝0的距离是
A． 
B． 
C． 
D．
3．设f(x)＝
，则f[f()]＝
A． B．
C．－
D． 
4．设x，y满足不等式组
则z=3x－2y的最大值是
A．0 B．
5．已知抛物线y2=8x,定点A（3,2），F为焦点，P为抛物线上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则
A．∠A=900 B．∠B＝
7．已知直线
是函数
图象的一条对称轴，则函数
图象的一条对称轴方程是
A．
B．
C．
D．
8．已知数列
的通项
则下列表述正确的是
A ．最大项为0，最小项为
B．最大项为0，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为
D．最大项为0，最小项为
9．已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是
A．
B.
C.
D.
10．将9个学生分配到甲、乙、丙三个宿舍，每宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分配方法有
A．3710
B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
11．在平行四边形ABCD中，
=a，
=b，
，M为BC的中点，则
▲ ．（用a，b表示）。
12．不等式3－
<x的解集是 ▲ ．
13．若在(x+1)4(ax－1)2的展开式中，x3的系数是20，则a=___▲______.
14．椭圆
与直线
交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
，则 值 = ▲ ．
15．在△ABC中，cosB为sinA、sinC的等比中项，sinB为cosA、cosC的等差中项，则∠B= ▲ ．
16． 给出下列四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条。
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定两条异面直线,过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；
其中正确的命题序号为: ▲ 。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设双曲线C：
的离心率e=2，经过双曲线的右焦点F且斜率为
的直线交双曲线于A、B点，若
，求此时的双曲线方程。
18．（本小题满分14分，第一小问满分7分，第二小问满分7分）
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点
处取得极小值－5，其导函数
的图象经过点（0，0），（2，0），
(Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求x0及函数f（x）的表达式。
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
如图，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B
(Ⅰ)求证：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）当k＝
时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
 |
20．（本小题满分16分，第一小问5分，第二小问满分5分，第三小问满分6分）
对于函数y=
(
)( 
D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：
① f()在定义域内单调递增或单调递减；
②
存在区间[a ，b]
，使
()在[a ，b]上的值域是[a ，b]。
那么把
= ()(x
称为闭函数．
(Ⅰ) 求闭函数 = ?3符合条件②的区间[a，b]；
(Ⅱ)判定函数()= 
是否为闭函数？并说明理由；
(Ⅲ) 若
=
是闭函数，求实数
的取值范围
21．（本小题满分14分，第一小问满分7分，第二小问满分7分）
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．
（Ⅰ)求函数f(x)的表达式；
（Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)。
求证：(a1－ a2)?(a3－1)+(a2－ a3)?(a4－1)+…+(an－ an+1)?(an+2－1)＜1
一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得
，
，
，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为 
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，则b2=3，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为
的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是减函数；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=
的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k
时，
解得：
，∴ 
；
当
时，
这时
无解．
所以 k的取值范围是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）
参考答案
一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得，，，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，则
，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是减函数；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k时，解得：，∴ ；
当时，这时无解．
所以 k的取值范围是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）