一．选择题：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

二．填空题：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答题：

17．由题设，得，，，双曲线为，  …… 2分

直线AB的方程为 ，               ………………………  4分

代入到双曲线方程得：4x²+20ax-29a²=0，           ………………………   6分

又，由得：

12=，                         ………………………  9分

解得a²=1，则b²=3，所以为所求。………………………  12分

18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x²+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 当在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上递增,在(0,2)上递减,      

因此在x=2处取得极小值,所以x₀=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 过P作MN∥B₁C₁，分别交A₁B₁、D₁C₁于M、N，则M、N A₁B₁、D₁C₁的中点，连MB，NC由四边形BCNM是平行四边形，             ………………………  2分

∵E、M分别为AB、A₁B₁中点，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，  ………… 6分

设AA₁=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空间坐标系）

20．解  (Ⅰ)由=³在[a ，b]上为减函数，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]．  ………… 5分

    (Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是减函数；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．         ………… 10分

(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a ，b]，则

故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于

有两个不等实根．            ………… 13分

当k时，解得：，∴ ；

当时，这时无解．

所以 k的取值范围是．                          ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以

        x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2               ………… 3分

对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

对由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表达式为：f(x)= x³－3x²+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n    (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0

    (a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)?(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。                    ………… 14分

 （本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）

参考答案

一．选择题：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

二．填空题：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答题：

17．由题设，得，，，双曲线为，  …… 2分

直线AB的方程为，                   ………………………  4分

代入到双曲线方程得：，       ………………………   6分

又，由得：

，                         ………………………  9分

解得，则，所以为所求。………………………  12分

18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x²+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 当在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上递增,在(0,2)上递减,      

因此在x=2处取得极小值,所以x₀=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 过P作MN∥B₁C₁，分别交A₁B₁、D₁C₁于M、N，则M、N A₁B₁、D₁C₁的中点，连MB，NC由四边形BCNM是平行四边形，             ………………………  2分

∵E、M分别为AB、A₁B₁中点，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，  ………… 6分

设AA₁=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空间坐标系）

20．解  (Ⅰ)由=³在[a ，b]上为减函数，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]．  ………… 5分

    (Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是减函数；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．         ………… 10分

(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a ，b]，则

故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于

有两个不等实根．            ………… 13分

当k时，解得：，∴ ；

当时，这时无解．

所以 k的取值范围是．                          ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以

        x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2               ………… 3分

对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

对由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表达式为：f(x)= x³－3x²+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n    (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0

    (a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)?(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。                    ………… 14分

 （本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）