重庆八中高2009级高三(下)第二次月考
数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为( )
A.1 B.i C.-1 D.-i
2.已知直线和平面,则的一个必要非充分条件是( )
A.且 B.且
C.且 D.与所成角相等
3.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
4.设变量满足约束条件,则的最大值是( )
A.1 B.
C. D.2
5.设两个正态分布和
的密度函数图象如图所示,则有( )
A.
B.
C.
D.
6.设向量满足,且,若,则
( )
A.2
B.
7.已知为R上的奇函数,且,若,则=( )
A.0 B. C.-1 D.1
8.若直线l:与圆没有公共点,则过点的直线与椭圆的公共点个数为( )
A.至多一个 B.2个 C.1个 D.0个
9.二项式展开式中,所有有理项(不含的项)的系数之和为( )
A. B. C. D.
10.如果关于实数的方程的所有解中,仅有一个正数解,那么实数的取值范围为( )
A. B.或
C. D.或
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.
11.集合,则 .
12.若,则 .
13.若双曲线,上横坐标为的点到右焦点的距离小于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 .
14.已知点A、B、C、D在同一球面上,AB平面,,若,,,则B、C两点间的球面距离是 .
15.设函数,表示不超过实数m的最大整数,则函数的值域是 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分)
已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
(I)求的值;
(II)将函数的图象向右平移个单位后,得到函数图象,求在区间上的单调性.
17.(本题满分13分)
某大学2009届入学测试中,要求每位考生在10道题中随机抽出2道题回答.
(I) 现在某位考生会答10道题中的6道,求这个考生答错题目个数的分布列和数学期望;
(II)若答对其中一题即为及格,如果某位考生及格的概率小于,那么他最多会几道题?
18.(本题满分13分)
如图,四棱锥-中,底面为矩形,侧面底面,,,.
(I)证明:;
(II)设与平面所成的角为,求二面角--的大小.
19.(本题满分12分)
设数列的首项,其前n项和满足:
.
(I)求证:数列为等比数列;
(II)记的公比为,作数列,使,,求和:.
20.(本题满分12分)
已知抛物线的焦点为F,准线为l.
(I)求抛物线上任意一点Q到定点的最近距离;
(II)过点F作一直线与抛物线相交于A、B两点,并在准线上任取一点M,当M不在x轴上时,证明:是一个定值,并求出这个值.
21.(本题满分12分)
已知函数为常数是实数集上的奇函数,函数
是区间上的减函数.
(I)求的值;
(II)若在上恒成立,求的取值范围;
(III)讨论关于的方程的根的个数.
一、选择题
CDABA BCBAB
二、填空题
11. 12. -1 13.1<e<2 14. 15.{-1,0}
提示:8.利用点到直线的距离公式知,即在圆内,也在椭圆内,所以过点的直线与椭圆总有两个不同的交点.
9.可以转化为求展开式中所有奇数项系数之和,赋值即可.
10.原问题有且仅有一个正实数解.令,则,令
,,由得或.又时,;,时,.所以.又
;.结合三次函数图像即可.
15. ,
,即,当m为整数时,值为0,m为小数时,值为-1,故所求值域为{-1,0}
三、解答题
16. (1)…………………3分
由条件………………………………………6分
(2),令,解得,又 所以在上递减,在上递增…………………………13分
17.(1)答错题目的个数
∴分布列为:,期望(道题)……7分
(2)设该考生会x道题,不会10-x道题,则…10分
解得:或(舍),故该考生最多会3道题…………………………………13分
18.(1)作,垂足为,连结,由题设知,底面,
且为中点,由知,,
从而,于是,由三垂线定理知,……………4分
(2)由题意,,所以侧面,又侧面,所以侧面侧面.作,垂足为,连接,则平面.
故为与平面所成的角,…………………………………7分
由,得:, 又,
因而,所以为等边三角形.
作,垂足为,连结.
由(1)知,,又,
故平面,,
是二面角的平面角………………………………………………...10分
.,,,
所以二面角为或……………………….13分
19.(1)由,得,…2分
又, 两式相减,得:
,
综上,数列为首项为1,公比为的等比数列…………………………..…….6分
(2)由,得,所以是首项为1,,公差为的等差数列,……………………………….…………………………....9分
……………………….………………………....13分
20.(1)设点,则
所以,当x=p时,…………………………………………………….….4分
(2)由条件,设直线,代入,得:
设,则,
…......................................................................................7分
….10分
又,所以为定值2……………………………………………….12分
21. (1)是奇函数,则恒成立,
,,故…………………….2分
(2)在上单调递减,,,
只需 (恒成立.
令,则
,而恒成立,.….…………………….7分
(3)由(1)知,方程为,
令,, ,
当时,,在上为增函数;
当时,,在上为减函数;
当时,.而,
函数、 在同一坐标系的大致图象如图所示,
当即时,方程无解;
当,即时,方程有一个根;
当,即时,方程有两个根.………………………………….12分