成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷至2页，第Ⅱ卷3至8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。全卷满分为150分，完成时间为120钟。
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在依次实验中发生的概率是
，
那么
次独立重复实验中恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：
（1）已知集合
，则集合
的子集个数是
A．1 B．
（2）化简复数
的结果是
A．-2i B．2i C．0 D．-1-i
（3）已知函数
的定义域为[0，1﴿，则函数
的定义域为
A．
B．
C．
D．
（4）函数
的图象为
（5）在
中，
分别是三内角
所对边的长，若
则的形状
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（6）已直数列
的前
项和为
，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
（7）已知过原点的动圆
与直线
相切,切当动圆面积最小时,圆的方程是
A．
B．
C．
D．
（8）已知三棱锥
中，
两两垂直，
，且三棱锥外接球的秒面积为
，则实数
的值为
A．1
B．
D．
（9）为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到
五个受灾点，由于
地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；
两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（
在上午、在下午与在下午、在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；
两地可随意安排在其余两天送达。则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序种数共有
A．72种
B．18种 C．36种
D．24种
（10）将函数
的图象按向量平移后得到函数
的图象，若函数为奇函数，则符合条件的一个向量可以是
A．
B．
C．
D．
（11）已知曲线
与曲线
的一个交点的横坐标为
，且两曲线在交点处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆，则与
的值分别为
A．
B．
C．
D．
（12）过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为
,延长
交抛物线
于点
若
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3．本卷共10小题，共90分。
题号
二
三
总分
总分人
17
18
19
20
21
22
得分
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）若函数
______________。
（14）与抛物线
关于点（-1，0）对称的抛物线方程是_______________________。
（15）若关于
的方程
在[0，2]上有两个不同实数解，则实数
的取值范围是__________________。
（16）已知空间向量
为坐标原点，给出以下结论：①以
为邻边的平行四边形
中，当且仅当
时，
取得最小值；②当
时，到和点等距离的动点
的轨迹方程为
，其轨迹是一条直线；③若
则三棱锥
体积的最大值为
；④若
=（0，0，1），则三棱锥各个面都为直角三角形的概率为
。
其中，所有正确结论的番号应是_____________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数
。
（I）求
的值；
(Ⅱ)若
的值
（18）（本小题满分12分）
如图的多面体是直平行六面体
经平面
所截后得到的图形，其中
。
（I）求证：
；
（Ⅱ）求平面与平面
所成锐而面角的大小；
（Ⅲ）求点C到平面的距离
（19）（本小题满分12分）
质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理。假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉。
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量
，求的分布列及数学期望。
（20）（本小题满分12分）
已知函数
（I）当
时，若函数
为
上的连续函数，求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，若对任意
不等式
恒成立，求实数的取值范围。
（21）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
中，
的斜边
恰在轴上，点
，且
为边上的高。
（I）求中点
的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中的轨迹交于两不同点
，且线段
恰以点
为中点，求直线的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线
与（I）中的轨迹交于两不同点
试问在轴上是否存在定点
，使
恒为定值
？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列中，
，且当
时，
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记
（1）求极限
；
（2）对一切正整数，若不等式
恒成立，求的最小值。
成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
（1）B； （2）A； （3）B； （4）A； （5）C； （6）C； （7）B； （8）A；
（9）D； （10）B； （11）D； （12）B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
（13）16；（14）
（15）
（16）③④
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
（17）解：（I）由题意，得
（Ⅱ）由（I）可知，
又
又
（18）（I）证明：在
中，
由余弦定理，可得
又在直平行六面体中，
，
又
（Ⅱ）解：以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则有
。
设平面
的法向量为
由
取
而平面
的一个法向量为
，
故平面与平面所成锐二面角的大小为
（Ⅲ）解：点
到平面的距离即为
在平面法向量上的射影的模长。
故所求点到平面的距离为
（19）解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为
故所求的概率为
（Ⅱ）由题意，随即变量
的取值为0，1，2。
的分布列为
0
1
2
的数学期望
（20）解：（I）
当
时，函数
为
上的连续函数，
令
当
时，函数
在
上单调递减，在（0，2）上单调递增。
又
当
时，
恒成立，
当
时，函数
在
上单调递减。
综上可知，函数
的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（
。
（Ⅱ）对任意
恒成立
此时
即
。
当
时，函数在
上单调递减，在
上单调递增。而
当时，函数的最大值为
。
结合（I）中函数的单调性可知：当时，
即实数
的取值范围为
（21）解：（I）设
，则
而
，
。
由
，即为中点
的轨迹方程
（Ⅱ）点
在椭圆内部，直线
与椭圆必有公共点
设点
，由已知
，则有
两式相减，得
而
直线的斜率为
直线的方程为
（Ⅲ）假定存在定点
，使
恒为定值
由于轨迹方程中的
，故直线
不可能为
轴
于是可设直线的方程为
且设点P
将
代入
得
。
显然
，
则
若存在定点使
为定值（与值无关），则必有
在轴上存在定点
，使恒为定值
（22）解：（I）
由
叠加，得
故所求的通项公式为
（Ⅱ）①
②
恒成立
下面证明
（i）当
时，
不等式成立；
当
时，左边
右边
左边>右边，不等式成立。
（ii）假设当
时，
成立。
则当
时，
又
当时，不等式也成立。
综上（i）、(ii)可知，（ 
成立。
对一切正整数，不等式
恒成立
恒成立
故只需
而
的最小值为2。