第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

（1）B；  （2）A；  （3）B； （4）A；  （5）C；  （6）C；  （7）B；  （8）A； 

（9）D； （10）B； （11）D； （12）B

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：（每小题4分，共16分）

（13）16；（14）   （15）   （16）③④

三、解答题：（本大题共6小题，共74分）

（17）解：（I）由题意，得

（Ⅱ）由（I）可知，

又

又

（18）（I）证明：在中，

      由余弦定理，可得

      又在直平行六面体中，，

      又

（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

则有。

设平面的法向量为

由   取

而平面的一个法向量为，

故平面与平面所成锐二面角的大小为

（Ⅲ）解：点到平面的距离即为在平面法向量上的射影的模长。

故所求点到平面的距离为

（19）解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为

二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为

故所求的概率为

（Ⅱ）由题意，随即变量的取值为0，1，2。

的分布列为

0

1

2

的数学期望

（20）解：（I）当时，函数   为上的连续函数，

令

当时，函数在上单调递减，在（0，2）上单调递增。

又

当时，恒成立，

当时，函数在上单调递减。

综上可知，函数的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（。

（Ⅱ）对任意恒成立

此时即。

当时，函数在上单调递减，在上单调递增。而

当时，函数的最大值为。

结合（I）中函数的单调性可知：当时，

即实数的取值范围为

（21）解：（I）设，则而，

。

由，即为中点的轨迹方程

（Ⅱ）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点

设点，由已知，则有

两式相减，得

而直线的斜率为

直线的方程为

（Ⅲ）假定存在定点，使恒为定值

由于轨迹方程中的，故直线不可能为轴

于是可设直线的方程为且设点P

将代入得

。

显然

，

则

若存在定点使为定值（与值无关），则必有

在轴上存在定点，使恒为定值

（22）解：（I）

由

叠加，得

故所求的通项公式为

（Ⅱ）①

②恒成立

下面证明

（i）当时，不等式成立；

当时，左边右边

左边>右边，不等式成立。

（ii）假设当时，

成立。

则当时，

又

当时，不等式也成立。

综上（i）、(ii)可知，（ 成立。

对一切正整数，不等式恒成立

恒成立

故只需

而的最小值为2。