2006学年第一学期期中杭州地区七校联考试卷
高三年级数学学科
命题人：萧山中学 李金兴 审校：莫维平
一. 选择题(每小题仅有一个答案正确,每小题5分,共50分)
1.复数
,
(其中
),那么
是实数的充要条件是( )
A. 
B. 
C.
D. 
2.数列
中, 
,
,那么
等于( )
A.16
B.
3.对于函数
，下列叙述正确的是（ ）
A．既有极大值又有最大值 B.有极大值但没有最大值
C. 没有极大值但有最大值 D. 既无极大值又无最大值
4. 对于函数
(其中
为某一实数),下列叙述正确的是( )
A.函数
有最小值
;
B.函数有最小值
;
C.函数有最大值 D.函数不一定有最值.
5. 数列前
项和
,其中
成等比数列,那么
等于( )
A.7
B.
6.对于集合
,若
,则一定有( )
A. 
B. 
C. 
D. 以上都不对
7.设
,
,那么
是
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 设
在区间
上的值域为
，那么
的最小值为（ ）
A．
B．
D．
9. 设
是离散型随机变量， 
，且
，又已知
，则
的值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数的导函数为
,且对于任意
,总有
成立,那么
与
的大小关系为( )
A. >
B.=
C.< D.不确定
二. 填空(每小题4分,共16分)
11. 已知集合
,从
到
的映射
满足: 中的任何元素都有原象,且
中的元素之和为124,求
.
12. 设数列的通项
,则
.
13. 定义在
上的函数
是上的连续函数，那么
.
14.关于
的方程
有实根,那么实数的取值范围为__________________.
三. 解答题(6大题,每题14分,共84分)
15. 已知为定义在
上的偶函数,当
时, 
;
(1)
求
时, 的解析式;
(2)
求的值域.
16. 无穷等比数列的各项都为正数,又
;
(1)
求数列的通项公式;
(2)
取出数列的前
项,设其中的奇数项之和为
,偶数项之和为
;求出和的表达式(用
表示).
17. 甲乙两袋中装有大小相同的红球和白球，甲袋中装有1个红球和2个白球，乙袋中装有2个红球和1个白球，现从甲乙两袋中各取2个球；设取出的4个球中红球的个数为，
（1）求
的概率；
（2）写出的分布列，并求出的数学期望值.
18. 在边长为6的正方形纸板的四角切去相等的正方形,再沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子 (如图) ,
(1)
当箱子容积最大时,切去的四个小正方形的边长恰为,求出的值;
(2)
若将切下来的四个小正方形再按相同方法做成四个无盖的方底箱子,问:当五个箱子的体积总和最大时, 第一次切下来的四个小正方形的边长是否仍然为?说明理由.
 |
|||
 |
|||
19. 已知函数
;
(1)
求
;
(2)
设
,求
;
(3)
对于题(2)中所得的,设
,问:是否存在正整数,
使得对于任意
,均有
成立?若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由.
20. 设函数
（1）若是
上的单调函数，求的取值范围并指出单调性；
（2）若函数
的定义域为，求出的取值范围；
（3）若数列
是递增数列，求出的取值范围。
2006学年第一学期期中杭州地区七校联考答卷
座位号
高三年级数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
三、解答题（共6大题，84分）
17、（本题14分）
18、（本题14分）
19、（本题14分）
20、（本题14分）
 |
一.选择题(50分)
1.B, 2.A, 3.D, 4.B, 5.C, 6.B, 7.A, 8.A, 9.A, 10.C
二.填空题(16分)
11. 5, 12.
234, 13. 
,
14. 
.
三.解答题(84分)
15(14分)(1) 时, 
;------------------------------------------6分
(2) 时, 
;
时, 
,
时, 
,
由单调性易知:时,
; -----------------------------------------4分
而
时, 
,又因为是偶函数,
由对称性易知的值域为
.--------------------------------------------------4分
16(14分)(1)由
解得
,----------------------------------------3分
因为数列各项为正,所以
;
.--------------------------------3分
(2) 
;----------------------------------------------------4分
.-------------------------------------------------4分
17(14分)(1) 
;------------------------------------------6分
(2) 的分布列为:
1
2
3
-------------------6分-
所以, 
-------------------------------------------2分
18.(14分)(1)设切下来的小正方形边长为,则
,
因为
,所以
1时
;
而
时
,
时
,所以
时容积最大;即
.--------------6分
(2) 设第一次切下来的小正方形边长为,则五个箱子的容积之和为
--------------------------------------------------------------4分
因为
,显然不是极值点,--------------------------------------2分
所以要使五个箱子的容积之和最大, 第一次切下来的小正方形边长不能为.-------2分
19. (14分)(1) 
---------------------------------------------4分
(2) 
,所以
,而
,
所以
,又
显然成立,所以
.---------------5分
(3) 
,-----------------------------2分
所以
,故存在最小正整数
使恒成立.--------3分
20.(14分)(1) 
--------------------------------------------------1分
而
------------------------------------------------------2分
所以, 
时, 恒成立, 为增函数;
时, 恒成立, 为增减函数;--------------------------- 2分
(2) 即
恒成立,若
显然成立;
若,则
恒成立,因为
,所以
;
若,则
恒成立,因为
,所以
;
综上所述, 
---------------------------------------------------------4分
(3) 法一:
在
上递增,所以
对于一切
恒成立,此时
,所以
;---------------------2分
又因为
,所以
---------------------------------------------------2分
综上所述, 时,数列递增.-----------------------------------------------1分
法二: 
恒成立-------------------------2分
而
(证略)-
所以
----------------------------------------2分
综上所述, 时,数列递增.-----------------------------------------------1分