奉贤区2009年高考模拟考试数学试卷（理科卷）2009.03
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
命题人员：陶慰树、张建权、姚志强
一、填空题：（共55分，每小题5分）
1、方程
的解是
。
2、不等式
的解集为
。
3、已知复数z＝
－i为纯虚数，则实数a=
。
4、在极坐标系中，
是极点，设点
，
，则三角形OAB的面积为
5、若
的二项展开式中含
项的系数是80，则实数a的值为 ．
6、在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。（用分数表示）
7、关于函数
有下列命题：
①
的定义域是
；②是偶函数；③在定义域内是增函数；④的最大值是
，最小值是
。其中正确的命题是 。（写出你所认为正确的所有命题序号）
8、已知直角三角形的两直角边长分别为
9、已知各项均为正数的等比数列
的首项
，公比为
，前n项和为
，若
，则公比为的取值范围是
。
10、设实数
满足
，若对满足条件
，不等式
恒成立，则
的取值范围是
。
11、现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…67；第二行依次为68，69…134；…依次把表格填满。现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满。对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有_________个。
二、选择题：（共20分，每小题5分）
12、条件p：不等式
的解；条件q：不等式
的解。则p是q的????????????????????????（ ）
A、充分非必要条件； B、必要非充分条件；
C、充要条件； D、非充分非必要条件。
13、如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）
A、求三个数中最大的数
B、求三个数中最小的数
C、按从小到大排列
D、按从大到小排列
14、在正方体
中，点E在A
且
，则???????（ ）。
（A）
，（B）
，
（C）
，（D）
.
15、设函数
的定义域为D，如果对于任意
D，存在唯一的
D使
＝c（c为常数）成立，则称函数
在D上“与常数c关联”。
现有函数：①
；②
；③
；④
，其中满足在其定义域上“与常数4关联”的所有函数是
-----（ ）
（A） ①② （B） ③④ （C） ①③④ （D） ①③
三、简答题（75分）
16、（本题12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
在直三棱柱ABC-A1B
(1)求异面直线B
(2)若直线A
求三棱锥A1-ABC的体积.
17、（本题14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数
（1）将写成
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为
，试求角的范围及此时函数的值域.
18、（本题14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80ㄇ出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券:
消费金额(元)的范围
[200,400)
[400,500)
[500,700)
[700,900)
…
获得奖券的金额(元)
30
60
100
130
…
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）。设购买商品的优惠率= 
。
试问：
（1） 购买一件标价为1000的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2） 对于标价在[500,800)（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于
的优惠率？
19、（本题16分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题5分）
已知点集
，其中
，
，点列
在L中，
为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，
。
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
＝
，令
；试用解析式写出
关于
的函数。
（3）若＝，给定常数m(
),是否存在
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。
20、（本题19分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题9分）
已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程。
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线
过定点有关的数学问题，并解答所提问题。
（本小题将根据你所设计问题的不同思维层次予以不同评分）
一、填空题 (每题5分)
1)
2)
3)0 4) 
5)
6) 
7）②④ 8）
9）
10）
11）7
二、选择题(每题5分)
12、A 13、B 14、D 15、D
三、解答题
16、16、
（1）因为
，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线
与
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
， -------(2分)
即异面直线与所成角大小为
。
-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A1B
，所以
即为直线A
。 -------(2分)
中，AB=BC=1得到
，
中，得到
， -------(2分)
所以
-------(2分)
17、
-------(1分)
=
-------(1分)
=
-------(1分)
若
为其图象对称中心的横坐标，即
=0， -------(1分)
， -------(1分)
解得：
-------(1分)
（2）
， -------(2分)
即
，而
，所以
。
-------(2分)
，
， -------(2分)
所以
------(2分)
18、
，顾客得到的优惠率是
。 -------(5分)
(2)、设商品的标价为x元，则500≤x≤800 ----- -(2分)
消费金额： 400≤0.8x≤640
由题意可得：
（1）
≥
无解
------(3分)
或（2）
≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)
因此，当顾客购买标价在
元内的商品时，可得到不小于的优惠率。------(1分)
19、（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
与轴的交点
为
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因为
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）设
（
），
即
（） ----(1分)
（A）当
时，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）当
时，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（）
----(1分)
（3）假设
，使得
，
（A）
为奇数
（一）
为奇数，则
为偶数。则
，
。则
，解得：
与矛盾。
----(1分)
（二）为偶数，则为奇数。则
，
。则
，解得：
（
是正偶数）。 ----(1分)
（B）为偶数
（一）为奇数，则为奇数。则，。则
，解得：
（
是正奇数）。
----(1分)
（二）为偶数，则为偶数。则，。则
，解得：
与矛盾。 ----(1分)
由此得：对于给定常数m(
)，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。
----(1分)
20、（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。 ----(1分)
由抛物线定义得：点
在以
为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上， ----(1分)
抛物线方程为
。 ----(2分)
解法（B）：设动点
，则
。当
时，
，化简得：
，显然
，而，此时曲线不存在。当时，
，化简得：。
（2）
，
，
，
----(1分)
，
，即
，
，
----(2分)
直线为
，所以
----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直线恒过定点
。
----(1分)
1、（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB （评分：提出问题得1分，解答正确得1分）
（若，求证：
?
=0，得分相同）
2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线
＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）
或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）
3、（类比）
3．1（1）如果直线L与椭圆
＋
＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)
3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)
3．1（3）或它的逆命题
3．2（1）如果直线L与双曲线
－
＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)(a≠b)
3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命题
（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）
4、（再推广）
直角顶点在圆锥曲线上运动
如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(
,
)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)
（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）
5、（再推广）
如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－
,－)
（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）
或
?
为常数
顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或?为常数