平面解析几何测试题(理科) 2009-4
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）
“”是“直线x+y=0和直线
互相垂直”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设A、B是
轴上的两点，点P的横坐标为2，且
，若直线PA的方程为
，则直线PB 的方程是
A．
B．
C．
D．
（3）直线
上的点到圆C：
的最近距离为
A. 1 B. 
C.
－1 D. 2－1
（4）若圆C的半径为
，圆心在轴的正半轴上，直线
与圆C相切，则圆C的方程为
A．
B．
C．
D．
（5）若圆
的过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为
A．
B．
C．
D．
（6）设椭圆
的焦点在轴上且长轴长为26，且离心率为
；曲线
上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为
A．
B．
C．
D．
（7）若点
到直线＝－1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点的轨迹为
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
（8）.抛物线
的准线方程是
A.
B.
C.
D.
（9）若抛物线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥轴，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
（10）若点P在抛物线
上，则改点到点
的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为
A.
B.
C.
D.
（11）.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计).若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为
，远地点到地心的距离为
，第二次变轨后两距离分别为2、2（近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率
A.变大 B.变小 C.不变 D.以上都有可能
（12）设AB是椭圆
（
）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则
+…
的值等于
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分，共16分．
（13）已知实数
，直线
过点
，且垂直于向量
，若直线与圆
相交，则实数
的取值范围是________________ .
（14）已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于
两点
若
，则
.
（15）在平面直角坐标系
中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点
，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是
．
（16）已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，渐近线分别为
，经过右焦点
垂直于
的直线分别交于
两点．若
成等差数列，且
与
同向，则双曲线的离心率为 .
（17）（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知圆C：
，直线：
.
(I) 当a为何值时，直线与圆C相切；
(Ⅱ) 当直线与圆C相交于A、B两点，且
时，求直线的方程.
（18）（本小题满分12分）
已知平面区域
恰好被面积最小的圆
及其内
部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆
的方程；
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点
，且满足
,求直线的方程.
（19）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，直线
与抛物线
＝2相交于A、B两点．
求证：“若直线过点T（3，0），则
＝3”是真命题.
（20）（本小题满分12分）
已知直线
相交于A、B两点，
是线段AB上的一点，
，且点在直线
上.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆
上，求椭圆的方程.
（21）（本小题满分12分）
如图，已知双曲线
的两个焦点为
，两个顶点为
，点
是
轴正半轴上一
点，且
<0，
>0.
（I）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）直线
分别与双曲线各交于两点，若以这四个交点为顶点的四边形的面积
的取值范围.
（22）（本小题满分14分）
已知
若过定点
、以
(
)为法向量的直线
与过点
以
为法向量的直线
相交于动点
．
(Ⅰ)求直线和的方程；
(Ⅱ)求直线和的斜率之积
的值，并证明必存在两个定点
使得
恒为定值；
(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若
是
上的两个动点，且
，试问当
取最小值
时，向量
与
是否平行，并说明理由.
一、选择题：
CADDB ADBBA CD
二、填空题
（13）
; （14）8; （15）
; （16）
.
三、解答题
（17）解：将圆C的方程
配方得标准方程为
，
则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
(Ⅰ) 若直线
与圆C相切，则有
. 解得
. ………………6分
(Ⅱ) 解：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
解得
.
∴直线的方程是
和
. ………………12分
（18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以
构成的三角形及其内部,且△
是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
,
所以圆
的方程是
. ………………6分
(Ⅱ)设直线的方程是:
.
因为
,所以圆心到直线的距离是
, 即
.
解得:
. ………………………………11分
所以直线的方程是
. ………………12分
（19）解：设过点T(3,0)的直线
交抛物线
于点A
、B
.
（Ⅰ）当直线的钭率不存在时,直线的方程为
,
此时, 直线与抛物线相交于点A(3,
)（）.B(3,－)，∴
=3. …….............4分
（Ⅱ）当直线的钭率存在时,设直线的方程为
，
其中
，由
得 
.
…………………….….6分
又 ∵ 
， ∴
，
………………………………….10分
综上所述，命题“若直线过点T(3,0)，则=3” 是真命题. ………………….12分
（20）解：（Ⅰ）由
知
是
的中点，
设A、B两点的坐标分别为
由
.
，
∴点的坐标为
.
…………………………4分
又点在直线上， 
.
， 
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，不妨设椭圆的一个焦点坐标为
，
设关于直线
上的对称点为
，
则有
. ………………10分
由已知
.
，∴所求的椭圆的方程为
. ………………12分
（21）解：（Ⅰ）
，即
；
，即
.
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）设直线
的方程为
，
直线与双曲线交于
，不妨设
且
，
直线
与双曲线交于
.
由
得
.
令
得
，此式恒成立.
，
. ………………6分
而
=
.
∴直线与双曲线交于两支上的两点；
同理直线与双曲线交于两支上的两点，
则
……………………8分
=
=
. ……………………10分
令
则
在（1，2）递增.
又
，
.
………………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）直线
的法向量
， 的方程：
，
即为
. ………………………2分
直线
的法向量
，的方程为
，
即为
.
………………………4分
（Ⅱ）
. ………………………6分
设点
的坐标为
，由
，得
.…………8分
由椭圆的定义的知，存在两个定点
使得
恒为定值4，此时两个定点为椭圆的两个焦点. ………………………10分
（Ⅲ）设
，
，则
，
，
由
，得
. ………………………12分
；
当且仅当
或
时，
取最小值
.
，故
与
平行.
………………………14分