江苏省通州市2009届高考回归课本专项检测
数学试题
(考试时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题：（共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在答题纸指定的横线上）
1. 若集合
= ．
2．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为
分．
3．复数
满足
，则复数的实部与虚部之和为
.
4. 已知条件
条件
且
是
的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
5. 设
是各项都是正数的等比数列
的前
项和，若
，则公比
的取值范围是 .
6. 若正三棱锥的主视图与俯视图如下（单位cm），则左视图的面积为
．
 |
|||
 |
|||
7. 根据上面的框图，该程序运行后输出的结果为 .
8. 若
是定义在R上的奇函数，且当
时，
；当
时，
．则函数
的零点有________个.
9. 函数
的图象向右平移
个单位可得函数
的图象，若在
上为增函数，则
的最大值为 .
10. 已知圆
的方程为
，
是圆上的一个动点，若
的垂直平分线总是被平面区域
覆盖，则实数
的取值范围是 .
11.己知双曲线的方程为
，直线
的方程为
，过双曲线的右焦点
的直线
与双曲线的右支相交于P、
，以
为直径的圆与直线相交于
、
，记劣弧
的长度为
，则
的值为
.
12. 在
中，若
，则的外接圆半径
．
将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体
中，若
两
两垂直，
，则四面体的外接球半径R=
．
13. 设函数
，
,若对于任意
，总存在
，使得
成立．则正整数a的最小值为 .
14. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色，先染 1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数 5、7、9；再染 9 后面最邻近的4个连续偶数 10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25. 按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1，2，4，5，7，9，12，14，16,17，…. 则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题14分）已知向量
.
（1）若
,求
的值；
（2）记
，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（
16. （本小题14分）已知关于
的一元二次函数
（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为
和
，求函数
在区间[
上是增函数的概率；
（2）设点（，）是区域
内的随机点，求函数
上是增函数的概率.
17. （本小题15分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆上，且
，矩形
所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）设
的中点为
，求证：
平面
；
（3）设平面将几何体
分成的两个锥体的
体积分别为
，
，求
．
18. （本小题15分）在平面直角坐标系
中 ，已知以为圆心的圆与直线
：
，
恒有公共点，且要求使圆的面积最小.
（1）写出圆的方程；
（2）圆与轴相交于A、B两点，圆内动点P使
、
、
成等比数列，求
的范围；
（3）已知定点Q（
，3），直线与圆交于M、N两点，试判断
是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线的方程，若不存在，给出理由.
19. （本小题16分）已知函数
，
，其中
．
（1）若
是函数
的极值点，求实数的值；
（2）若函数
在
（
为自然对数的底数）上存在零点，求实数的取值范围.
20. （本小题16分）已知数列 
和
满足 
(1)当m=1时，求证：对于任意的实数
一定不是等差数列；
(2)当
时，试判断
是否为等比数列；
回归课本专项检测
数学附加题
(考试时间：30分钟；满分：40分)
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．【选修4－1：几何证明选讲】如图，已知
为圆O的直径，直线
与圆O相切于点
，直线
与弦
垂直并相交于点
，与弧相交于
，连接
,
,
.
（1）求证：
；
（2）求
.
B．【选修4－2：矩阵与变换】矩阵与变换：给定矩阵
．
试求矩阵的特征值及对应的特征向量．
C．【选修4－4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程：
（
为参数），曲线C的极坐标方程：
，求直线被曲线C截得的弦长．
D．【选修4－5：不等式选讲】 设
,求证：
.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；其他情况均无奖金．
（1）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；
（2）求购买一张这种彩票中奖的概率；
（3）设购买一张这种彩票的收益为随机变量
，求的数学期望．
23. 动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（0，－1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成的区域的面积．
一、填空题：
1．
；2． 79 ；3.1； 4． 
； 5.
；6. 
； 7.16 ；8.7；
9.2；
10. 
； 11. 
； 12. 
； 13. 2； 14. 3955.
特别说明：有消息说，今年数学的填空题的压轴题将比较新、比较难，我们在评讲时要教育学生有这方面的心理准备。
二、解答题：
15.解：（1）
∵
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
┉┉┉┉┉┉┉7分
（2）∵（
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)
∵
∴
，
∴
┉┉┉┉┉┉10分
∴
┉┉┉┉┉┉11分
∴
┉┉┉┉┉┉12分
又∵
,∴
┉┉┉┉┉┉13分
故函数f(A)的取值范围是
┉┉┉┉┉┉14分
16. 解：（1）∵函数
的图象的对称轴为
要使在区间
上为增函数，
当且仅当
>0且
……………………………3分
若=1则
=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1；
……………………………5分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
……………………………7分
（2）由（Ⅰ）知当且仅当
且>0时，
函数
上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。 ………………………………9分
由
……………………………11分
∴所求事件的概率为
…………………………… 14分
17. （1）证明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=
，
平面，
平面，
,……… 2分
又
为圆
的直径，
， 
平面
。……… 5分
（2）设
的中点为
，则
，又
，则，
为平行四边形，
……… 7分
，又
平面
，
平面，
平面。……… 9分
(3)过点
作
于
，平面平面，
平面
，
，……… 11分
平面，
，……… 14分
． ……… 15分
18. 解：（1）因为直线
：
过定点T（4，3）……… 2分
由题意，要使圆的面积最小, 定点T（4，3）在圆上，
所以圆的方程为
；……… 4分
（2）A（-5，0），B（5，0），设
，则
……（1）
，
，
由
成等比数列得，
，
即
，整理得：
,
即
……（2）
由（1）（2）得：
，
，
……………………… 9分
（3）
，……… 11分
由题意，得直线与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（
，3），
直线
：
，
，则当
时
有最大值32. ……… 14分
即
有最大值为32，
此时直线
的方程为
.……… 15分
特别说明：第19题、第20题不是完整的压轴题，原作者都有第3问设计，为了强化考试策略教育，让学生有信心做压轴题的开始一两问，并在考前体会做好基础题可以拿高分，我们特意进行了删减处理。特别优秀的班级（如市中的奥班，可以添加第三问（祥见文末附件），并将评分标准作相应调整。
19.解：（1）∵
，其定义域为
，
∴
．……………………… 3分
∵
是函数
的极值点，∴
，即
．
∵
，∴
． ……………………… 6分
经检验当时，是函数的极值点，
∴．
……………………… 8分
（2）由题意，可知方程
在区间
上有根，因为
在上是单调减函数，
在上是单调增函数，……………………… 10分
所以，
……………………… 14分
……………………… 16分
20.解：(1) 
┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉8分
（2）
┉┉┉┉┉┉10分
┉┉┉┉┉┉12分
┉┉┉┉┉┉14分
┉┉┉┉┉┉16分
附加题部分
A（1）证明：因为
，所以
又
是圆O的直径，所以
又因为
（弦切角等于同弧所对圆周角）……………………3分
所以
所以
又因为
，所以
相似
所以
，即
……………………5分
（2）解：因为
，所以
，
因为
，所以
由（1）知：
。所以
……………………8分
所以
，即圆的直径
又因为
，即
解得
……………………10分
B.解：令
得到：
……………2分
解得：
……………………6
所以，矩阵A的特征值为2和3．
当
，
令
得
，
所以，对应的特征向量为
……………………8
当
，
令得
，所以，对应的特征向量为
矩阵Ａ的两个特征值分别是2和3，它们对应的特征向量分别是和．…10分
C.解：将直线的参数方程化为普通方程为：
……………………2分
将圆C的极坐标方程化为普通方程为：
………………4分
从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径
，
所以，圆心C到直线的距离
…………6分
所以直线与圆C相交． ……………………7分
所以直线被圆C截得的弦长为
.……………………10分
D.证明：要证原不等式成立，只须证：
即只须证：
由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立.
22.解：（1）设“小明中一等奖”为事件B1 ，“小辉中一等奖”为事件B2 ，事件B1与事件B2相互独立，他们俩都中一等奖，则P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.0001
所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为
．………..3分
（2）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，显然，事件A与事件B互斥，
所以，
……………………5分
故购买一张这种彩票能中奖的概率为0.1．……………………6分
（3）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，
的分布列如下：
……………………9分
购买一张这种彩票的期望收益为损失
元．……………………10分
23. 解：（1）设P（x，y），根据题意，得
．………3分
化简，得
．……………………………………………4分
（2）设过Q的直线方程为
，代入抛物线方程，整理，得
．
∴△＝
．解得
．………………………………………6分
所求切线方程为
（也可以用导数求得切线方程），
此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C上． …………8分
由对称性知所求的区域的面积为
．……………………………10分
附件：
第19题第3问：
（3）若对任意的
都有
成立，求实数的取值范围．
（3）对任意的
都有
≥
成立等价于对任意的都有
≥
．……………………… 7分
当
［1，
］时，
．
∴函数
在
上是增函数．
∴
．………………………9分
∵
，且
，．
①当
且