上海市2009年高三十校联考模拟考试数学（文科）试卷
一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1.
若
，则
_____________．
2.
若复数
满足
（
是虚数单位），则
__________．
3.
已知
，
，则
____________．
4.
由
，
，
，
，
，
六个数字组成无重复数字且数字，相邻的四位数共_______个（结果用数字表示）．
5.
函数
的最小正周期是_____________________．
6.
科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设
为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度
可定义为
．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是
级，而1976年唐山地震的震级为
级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_____________倍．（精确到个位）
7.
已知直线
的方向向量与直线
的法向量垂直，则实数
___________．
8.
在一个水平放置的底面半径为
cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为
cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则
________cm．
9.
已知
是抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则
的最大值为________________．
10. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方体和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是____________．
11.
已知函数
的值域是
，则实数
的取值范围是________________．
12.
在解决问题：“证明数集
没有最小数”时，可用反证法证明．
假设
是
中的最小数，则取
，可得：
，与假设中“
是中的最小数”矛盾！
那么对于问题：“证明数集
没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设
是
中的最大数，则可以找到
____________（用
，
表示），由此可知
，
，这与假设矛盾！所以数集没有最大数．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.
13.
圆
与圆
的位置关系是
( )
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切
14.
已知无穷等比数列
的前
项和为
，各项的和为
，且
，则其首项
的取值范围是
( )
(A)
(B)
(C) 
(D)
15.
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数
的图像恰好通过
个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：
①
②
③
④
，
其中是一阶整点函数的个数为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
16.
已知正方形
的面积为
，
平行于
轴，顶点
、
和
分别在函数
、
和
（其中
）的图像上，则实数
的值为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)
已知函数
，
有反函数，且函数的最大值为
，求实数
的值.
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在
中，角、、的对边分别为、
、
，且
.
（1） 求证：
；
（2） 若
，且
，求和的值.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列
满足
，且对任意
，都有
．
（1） 求证：数列
为等差数列；
（2） 试问数列中任意连续两项的乘积
是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
定义区间
，
，
，
的长度均为
，其中
．
（1）
若关于的不等式
的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
（2）
求关于的不等式
，
的解集构成的各区间的长度和；
（3）
已知关于的不等式组
的解集构成的各区间长度和为
，求实数的取值范围．
21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
已知等轴双曲线的两个焦点
、
在直线
上，线段
的中点是坐标原点，且双曲线经过点
．
（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①
；②
；③
．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2） 
现要在等轴双曲线上选一处
建一座码头，向
、
两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3） 如图，函数
的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）
文科答案
说明
1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分.
1.
.
2. 
. 3. 
. 4. 
.
5.
.
6. . 7. 
. 8. 
.
9..
10. 
.
11.
12.答案不惟一，
，
，…….
题 号
13
14
15
16
代 号
C
B
B
C
三、（第17至21题）
17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的
函数的对称轴为
，所以
或
……
3分
若，在区间
上函数是单调递增的，所以
，解得
，符合
……
7分
若，在区间上函数是单调递减的，所以
，解得
，与矛盾，舍去
……
11分
综上所述，满足题意的实数的值为
……12分
18．【解】（1）因为，
由正弦定理，得
，
……3分
整理得
因为、、是的三内角，所以
，
……5分
因此 ……6分
（2）
，即
……9分
由余弦定理得
，所以
， ……12分
解方程组
，得
……14分
19．【解】（1）由，可得
，
……
3分
所以数列是以
为首项，公差为的等差数列．
……6分
（2）由（1）可得数列的通项公式为
，所以
． …… 8分
．
……
10分
因为
，
……
11分
当
时，
一定是正整数，所以
是正整数．
……
13分
所以
是数列中的项，是第项．
……
14分
20．【解】（1）
时不合题意；
……
1分
时，方程
的两根设为
、
，则
，
，由题意知
，
……
2分
解得
或
（舍），
……
3分
所以．
……
4分
（2）因为
，
原不等式即为
，
6分
不等式的解集为
， …
7分
所以原不等式的解集为
…… 8分
各区间的长度和为
……
9分
（3）先解不等式
，整理得
，即
所以不等式的解集
…… 10分
设不等式
的解集为，不等式组的解集为
不等式
等价于
……
11分
又
，不等式组的解集的各区间长度和为，所以不等式组
，当
时，恒成立
……
12分
当时，不等式
恒成立，得
…… 13分
当时，不等式
恒成立，即
恒成立 …… 14分
当时，
的取值范围为
，所以实数
……
15分
综上所述，的取值范围为
……
16分
21．【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分
双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程
……
2分
所以③是等轴双曲线的方程
……
3分
等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上，
……
4分
联立方程
，解得双曲线的两顶点坐标为
，
，所以双曲线的实轴长为
……
5分
（2） 所求问题即为：在双曲线求一点，使
最小．
首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上 …… 6分
等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为
又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，
……
7分
设双曲线的另一个焦点为
，由双曲线的定义知：
所以
，要求的最小值，只需求
的最小值
……
8分
直线
的方程为
，所以直线与双曲线在第一象限的交点为
……
9分
所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分
（3）①
，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点
；
……
1分
② 渐近线是
和
．当
时，当无限增大时，
无限趋近于
，与无限趋近；当
无限增大时，无限趋近于． …… 2分
③ 双曲线的对称轴是
和
．
……
3分
④ 双曲线的顶点为
，
，实轴在直线上，实轴长为
…… 4分
⑤虚轴在直线，虚轴长为
……
5分
⑥焦点坐标为
，
，焦距
…… 6分
说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分
（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分