绝密★启用前 试卷类型：A
山东省日照市2009年高三模拟考试
文科数学 2009．
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题
卡和试卷规定的位置，并认真核准条形码上的姓名、座号和准考证号。
2．第I卷共2页，答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮啊干净后，在选涂其他答案，在试题卷上作答无效。
参考公式：
球的体积公式：
，其中
是球的半径。
锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若将复数
表示为
是虚数单位）的形式，则
等于
A．0 B．
（2）已知集合
，则
等于
A．
B．
C．
D．
（3）设
是等差数列
的前
项和，若
=
，则
等于
A．1 B．
（4）如图，程序框图所进行的求和运算是
A．
B．
C．
D．
（5）右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的
茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和
方差分别为
A．84，4.84 B．84，
（6）函数
的零点一定位于区间
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
（7）函数
的图象如右图所示，则函数
的图象大致是
（8）已知函数
，给出下列四个命题：
①若
，则
； ②
的最小正周期是
；
③在区间
上是增函数； ④的图象关于直线
对称
A．①②④ B．①③ C．②③ D．③④
（9）若
、是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若
则
B．若
则
C．若
则
D．若
则
（10）已知向量
=（2，2），
，则向量
的模的最大值是
A．3 B．
C．
D．18
（11）已知圆
关于直线
对称，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（12）若函数为奇函数，且在
内是增函数，又
，则
的解集为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷共2页。考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题目的指定答题区域内
作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无
效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）抛物线
的焦点坐标是_______________。
（14）已知正方体外接球的体积是
，则正方体的棱长等于______________。
（15）若函数
的值为____________。
（16）给出下列四个命题：
①若
，则
；
②若
，则
；
③若正整数和满足；
，则
；
④若
，且
，则
；
其中真命题的序号是_____________________(请把真命题的序号都填上)。
（17）（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
已知
中，角
的对边分别为
，且满足
。
（I）求角
的大小；
（Ⅱ）设
，求
的最小值。
（18）（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的
，满足关系式
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的通项公式是
，前项和为
，求证：对于任意的正整数，总有
（19）（本小题满分12分）
已知四棱锥
的三视图如下。
（I）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）若
是侧棱
的中点，求证：
平面
；
（Ⅲ）若是侧棱上的动点，不论点在何位置，是否都有
？证明你的结论。
（20）（本小题满分12分）
班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随即地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目。
（I）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
（Ⅱ）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
。
（I）若函数在
处有极值-6，求的单调递减区间；
（Ⅱ）若的导数
对
都有
求
的范围。
（22）（本小题满分14分）
已知离心率为
的椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，双曲线
以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为
。
（I）求椭圆及双曲线的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为
，在第二象限内取双曲线
上一点
，连结
交椭圆于点
，连结
并延长交椭圆于点
，若
。求四边形
的面积。
日照市2009年高三模拟考试
一、选择题（每小题5分，共60分）
BDACC ACDDB AA
二、填空题（每小题4分，共16分）
（13）
； （14）
； （15）
； （16）②③。
三、解答题（共74分）
（17）解：（I）由于弦定理
，
有
代入
得
。
…………………………………4分
即
。
……………………………………6分
……………………………………7分
…………………………………8分
（Ⅱ）
，
………………………………10分
由
，得
。
………………………………11分
所以，当
时，
取得最小值为0， ………………………………12分
（18）解：（I）由已知得
故
即
故数列
为等比数列，且
又当
时，
………………………………6分
而
亦适合上式
…………………………………8分
（Ⅱ）
所以
………………………………12分
（19）解：（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥
的底面的边长为1的正方形，侧棱
，
……………………………4分
（Ⅱ）连结
交
于
，则为的中点，
为
的中点，
，
又
平面
内，
平面 ………………8分
（Ⅲ）不论点
在何位置，都有
………………9分
证明：连结，
是正方形，
又
，
…………12分
（20分）解：
(I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）。
由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因次
这20种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典概型。 ……………2分用
表示事“连续抽取2人都是女生”，则与
互斥，并且
表示事
件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可
以看出，的结果有12种，的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，
可得
，
即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7……………6分
（Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出。
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典型。 …………………………8分
用
表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共
有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率
……………………………12分
（21）解：
（I）
依题意有
………………………2分
即
解得
…………………………4分
由
，得
的单调递减区间是
………………………6分
（Ⅱ）由
得
………………………8分
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由
得
………………………8分
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由 得
点的坐标为（0，-1）． ………………10分
设
则
表示平面区域内的点（
）与点
连线斜率。
由图可知
或
，
即
……………12分
（22）解：
（I）设椭圆方程为
则根据题意，双曲线的方程为
且满足
解方程组得
……………………4分
椭圆的方程为
，双曲线的方程
………………6分
（Ⅱ）由（I）得
设
则由
得
为
的中点，所以
点坐标为
，
将
坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去
，得
解之得
或
（舍）
所以
，由此可得
所以
…………………………10分
当为
时，直线
的方程是
即
代入，得
所以
或-5（舍）
……………………………12分
所以
轴。
所以
……………………14分