试卷类型：A
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数 学 (理 科) 2009.3
本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校、以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积V=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image002.gif)
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)?P(B).
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的
1.函数f(x)=sin2x的最小正周期为
A.π B. 2π C. 2πw.w.w.k.s.5 u.c.o.m D. 4π
3.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进
行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5
万元 ，则11时至12时的销售额为 /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image003.gif)
A. 6万元 B. 8万元
C. 10万元 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D. 12万元
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image004.gif)
若输出的S的值等于16，那么在程序框
图中的判断框内应填写的条件是w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
A.i>5 B.i> 6 C.i> 7 D.i> 8
6.已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的
解集是R，q：－1<a<0，则p是q 的那么
A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
7.在(1－x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，
若2a2+an-5=0， 则自然数n 的值是
A.7 B.8 C.9 D.10
8.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数
在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为
A./file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image006.gif)
B./file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image008.gif)
C. /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image010.gif)
D. /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image012.gif)
每小题5分，满分30分.
(一) 必做题 (9～12题)
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，
9.若log2(a+2)=2，则3a= ．
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image013.gif)
10. 若 /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image015.gif)
，则实数a的值是_________.
11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)
如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*
都有/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image017.gif)
，且1<Sk<9，则a1的值
为______，k的的值为________.
(二)选做题 (13～15题，考生只能从中选做两题)
13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image019.gif)
)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 ．
14. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，
PO交圆O于B，C两点，AC =/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image021.gif)
，∠PAB=300，则线段PB的长为 .
15. (不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，
则a的取值范围为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16.(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image023.gif)
．
(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．
17.(本小题满分12分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，
击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image026.gif)
，假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥AC，D、E、F分别是棱的中点，连接DE，DF，EF.
(1)求证: 平面DEF⊥平面ABC；
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image027.gif)
(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..
19. (本小题满分12分)
某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)
(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
20 (本小题满分14分)
已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
(2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image029.gif)
交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image031.gif)
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
21. (本小题满分14分)
已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求数列{ an}和{bn}的通项公式；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共7小题，每小
题5分，满分30分．其中13～15题为选做题，考生只能选做两题. 第12题的第一个空2分，第二个空3分．
9.9 ；10. /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image033.gif)
；11. 80； 12.－1，4； 13./file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image035.gif)
； 14.1. 15. /file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image037.gif)
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image023.gif)
．
(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．
解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，
∴sinB=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image039.gif)
.
……2分
由正弦定理得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image041.gif)
， ……4分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image043.gif)
.
……6分
(2) ∵S△ABC=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image045.gif)
acsinB=4，
……8分
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image047.gif)
， ∴c=5.
……10分
由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image049.gif)
.……14分
17.(本小题满分12分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，
击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image026.gif)
，假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力)
解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image051.gif)
，“乙射击一次，未击中目标”为事件/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image053.gif)
，则/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image055.gif)
……1分
依题意得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image057.gif)
，
……3分
解得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image059.gif)
，故p的值为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image010.gif)
.
……5分
(2)ξ的取值分别为0，2，4. ……6分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image062.gif)
，
……8分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image064.gif)
，
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image066.gif)
，
……10分
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image068.gif)
……12分
∴Eξ=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image071.gif)
……14分
18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF.
(1)求证: 平面DEF∥平面ABC；
(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..
(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image072.gif)
证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，
∵DE/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image074.gif)
平面PAB，ABÌ平面PAB，
∴DE∥平面PAB， ……2分
∵DE∩DF=D，DEÌ平面DEF，
DFÌ平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC. ……4分
(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：
解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2，
∴AB2 +AC2 =BC2=4，
∴三棱锥P-ABC的体积为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image076.gif)
……6分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image078.gif)
.
当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image080.gif)
，此时AB=AC=.
解法2：设AB=x，在△ABC中，/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image083.gif)
(0<x<2)，
∴三棱锥P-ABC的体积为
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image085.gif)
……6分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image087.gif)
，
∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image089.gif)
时，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=.
……8分
求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，给出如下两种解法：
解法1：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，
∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，
∵EFÌ平面DEF，∴ P A⊥EF.
∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AGÌ平面PAG，∴EF⊥AG，
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角. ……10分
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image090.gif)
在Rt△EDF中，DE=DF=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image092.gif)
，
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image094.gif)
，∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image096.gif)
.
在Rt△ADG中，
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image098.gif)
，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image100.gif)
.
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image102.gif)
.
……14分
解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image104.gif)
，0，1)，
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image105.gif)
F(0，，1). ∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image107.gif)
. ……9分
设/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image109.gif)
为平面AEF的法向量，
则/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image111.gif)
，
即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image113.gif)
，令/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image115.gif)
，则/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image117.gif)
，z=－1,
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image119.gif)
为平面AEF的一个法向量.
……11分
∵平面DEF的一个法向量为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image121.gif)
，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image123.gif)
，
……13分
而/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image125.gif)
与/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image127.gif)
所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为.
……14分
19. (本小题满分12分)
某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)
(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
(本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解和应用意识)
解：(1) 生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image130.gif)
(x∈N*，且1≤x≤49).
……2分
(2) 生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image132.gif)
(x∈N*，且1≤x≤49).
……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时，则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者，
令f(x)≥g(x)，则/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image134.gif)
，解得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image136.gif)
，
所以，当1≤x≤32时，f(x)>g(x)；当33≤x≤492时，f(x)<g(x).
故/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image138.gif)
……6分
当1≤x≤32时，/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image140.gif)
，故h(x)在[1，32]上单调递减，
则h(x)在[1，32]上的最小值为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image142.gif)
(小时)； ……8分
当33≤x≤49时，/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image144.gif)
，故h(x)在[33，49]上单调递增，
则h(x)在[33，49]上的最小值为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image146.gif)
(小时)； ……10分
∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值为h(32)， ∴x=32.
答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32. ……12分
20 (本小题满分14分)
已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
(2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image029.gif)
交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image031.gif)
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.
∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M内，
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image148.gif)
(a>b>0)，则a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image150.gif)
.
……5分
(2)由/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image152.gif)
消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image154.gif)
.
△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7分
由/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image156.gif)
消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image158.gif)
.
△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image160.gif)
，∴2km=0或/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image162.gif)
，
解得k=0或m=0， ……11分
当k=0时，由①、②得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image164.gif)
，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image166.gif)
，
∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
21. (本小题满分14分)
已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image169.gif)
……2分
由an+an+1=2n，得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image171.gif)
，故数列/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image173.gif)
是首项为/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image175.gif)
，公比为－1的等比数列.
……4分
证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴
……2分
∵/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image177.gif)
，
故数列是首项为，公比为－1的等比数列.
……4分
(2)解：由(1)得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image179.gif)
，即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image181.gif)
，
∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image183.gif)
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image185.gif)
……6分
∴Sn=a1+
a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image188.gif)
，
……8分
要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，
即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image190.gif)
对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时，由(*)式得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image192.gif)
，
即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image194.gif)
，
∵2n+1－1>0，∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image196.gif)
对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image198.gif)
有最小值1，∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
……10分
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image200.jpg)
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.
……10分
②当n为正偶数时，由(*)式得/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image202.gif)
，
即/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image204.gif)
，
∵2n－1>0，∴/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image206.gif)
对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时，/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\2ba40b05bbedafc4c92d1587190860dd.zip\67017\2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)\广东省广州市2009届高三第一次模拟考试（数学理）.files\image208.gif)
有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分
综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1). ……14分