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一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共7小题,每小
题5分,满分30分.其中13~15题为选做题,考生只能选做两题. 第12题的第一个空2分,第二个空3分.
9.9 ;10. ;11. 80; 12.-1,4; 13.; 14.1. 15.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=2, cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值; (2) 若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.
解:(1) ∵cosB=>0,且0<B<π,
∴sinB=. ……2分
由正弦定理得, ……4分
. ……6分
(2) ∵S△ABC=acsinB=4, ……8分
∴, ∴c=5. ……10分
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,
∴.……14分
17.(本小题满分12分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,
击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为和p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为,假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值;
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力)
解:(1)设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则
……1分
依题意得, ……3分
解得,故p的值为. ……5分
(2)ξ的取值分别为0,2,4. ……6分
, ……8分
,
, ……10分
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
……12分
∴Eξ= ……14分
18.(本小题满分14分) 如图4,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,
AB⊥AC,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点,连接DE,DF,EF.
(1)求证: 平面DEF∥平面ABC;
(2)若PA=BC=2,当三棱锥P-ABC的体积的最大值时,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..
(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点,
∴DE是△PAB的中位线,∴DE∥AB,
∵DE平面PAB,ABÌ平面PAB,
∴DE∥平面PAB, ……2分
∵DE∩DF=D,DEÌ平面DEF,
DFÌ平面DEF,
∴平面DEF∥平面ABC. ……4分
(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值,给出如下两种解法:
解法1:由已知PA⊥平面ABC, AC⊥AB,PA=BC=2,
∴AB2 +AC2 =BC2=4,
∴三棱锥P-ABC的体积为
……6分
.
当且仅当AB=AC时等号成立,V取得最大值,其值为,此时AB=AC=.
解法2:设AB=x,在△ABC中,(0<x<2),
∴三棱锥P-ABC的体积为
……6分
,
∵0<x<2,0<x2<4,∴当x2=2,即时,V取得最大值,其值为,此时AB=AC=. ……8分
求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..,给出如下两种解法:
解法1:作DG⊥EF,垂足为G,连接AG,
∵PA⊥平面ABC,平面ABC∥平面DEF,∴P A⊥平面DEF,
∵EFÌ平面DEF,∴ P A⊥EF.
∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面PAG,AGÌ平面PAG,∴EF⊥AG,
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角. ……10分
在Rt△EDF中,DE=DF=,
,∴.
在Rt△ADG中,
,
∴.
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为. ……14分
解法2:分别以AB、AC、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,0,1),E(,0,1),
F(0,,1). ∴. ……9分
设为平面AEF的法向量,
则,
即,令,则,z=-1,
∴为平面AEF的一个法向量. ……11分
∵平面DEF的一个法向量为,
∴,
……13分
而与所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为. ……14分
19. (本小题满分12分)
某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)
(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时,写出f(x)的解析式;
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取何值?
(本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方法,以及运算求解和应用意识)
解:(1) 生产150件产品,需加工A型零件450个,则完成A型零件加工所需时间(x∈N*,且1≤x≤49). ……2分
(2) 生产150件产品,需加工B型零件150个,则完成B型零件加工所需时间(x∈N*,且1≤x≤49). ……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时,则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者,
令f(x)≥g(x),则,解得,
所以,当1≤x≤32时,f(x)>g(x);当33≤x≤492时,f(x)<g(x).
故 ……6分
当1≤x≤32时,,故h(x)在[1,32]上单调递减,
则h(x)在[1,32]上的最小值为(小时); ……8分
当33≤x≤49时,,故h(x)在[33,49]上单调递增,
则h(x)在[33,49]上的最小值为(小时); ……10分
∵h(33)> h(32),∴h(x)在[1,49]上的最小值为h(32), ∴x=32.
答:为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取32. ……12分
20 (本小题满分14分)
已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;
(2)设直线l: y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量
,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、类与整的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
解:(1)圆M:(x-2)2+x2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.
∵|AM|=4<R,∴点A(-2,0)在圆M内,
设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得r= |CA|,且|CM|=R-r,
即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,
设其方程为(a>b>0),则a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=12,∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.
……5分
(2)由消去y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.
△1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0. ① ……7分
由消去y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,
设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=.
△2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即x1+x2= x3+x4,
∴,∴2km=0或,
解得k=0或m=0, ……11分
当k=0时,由①、②得,
∵m∈Z,∴m的值为-3,-2,-1,0,1,2,3;
当m=0时,由①、②得,
∵k∈Z,∴k=-1,0,1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
21. (本小题满分14分)
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且a1=1.
(1)求证:数列{ an-×2n}是等比数列;
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和,问是否存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
∴ ……2分
由an+an+1=2n,得,故数列
是首项为,公比为-1的等比数列. ……4分
证法2:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
∴ ……2分
∵,
故数列是首项为,公比为-1的等比数列.
……4分
(2)解:由(1)得,即,
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]
, ……8分
要使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,
即对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m ……10分
①当n为正奇数时,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1. ……10分
②当n为正偶数时,由(*)式得,
即,
∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时,有最小值1.5,∴λ<1.5. ……12分
综上所述,存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,λ的取值范围是(-∞,1). ……14分