摘要:已知p:关于x的不等式x2+2ax-a>0的解集是R.q:-1<a<0.则p是q 的那么A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

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一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共7小题,每小

题5分,满分30分.其中13~15题为选做题,考生只能选做两题. 第12题的第一个空2分,第二个空3分.

9.9  ;10. ;11. 80; 12.-1,4;  13.;  14.1.  15.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力)

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=2, cosB=

(1)若b=4,求sinA的值; (2) 若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.

解:(1) ∵cosB=>0,且0<B<π,

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得,                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S△ABC=acsinB=4,                             ……8分

 ∴,  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

.……14分

17.(本小题满分12分)

甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,

击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别

和p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为,假设

甲、乙两人射击互不影响.

(1)求p的值;

(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力)

解:(1)设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则

……1分

依题意得,                            ……3分

解得,故p的值为.                               ……5分

(2)ξ的取值分别为0,2,4.                               ……6分

,             ……8分

,                                      

 ,           ……10分

∴ξ的分布列为

ξ

0

2

4

P

……12分

∴Eξ=                     ……14分

18.(本小题满分14分) 如图4,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,

AB⊥AC,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点,连接DE,DF,EF.

(1)求证: 平面DEF∥平面ABC;

(2)若PA=BC=2,当三棱锥P-ABC的体积的最大值时,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..

(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

                      证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点,

∴DE是△PAB的中位线,∴DE∥AB,

∵DE平面PAB,ABÌ平面PAB,

                           ∴DE∥平面PAB,           ……2分

 ∵DE∩DF=D,DEÌ平面DEF,

   DFÌ平面DEF,

                           ∴平面DEF∥平面ABC.       ……4分

                         (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值,给出如下两种解法:

解法1:由已知PA⊥平面ABC, AC⊥AB,PA=BC=2,

∴AB2 +AC2 =BC2=4,

∴三棱锥P-ABC的体积为

……6分

.

当且仅当AB=AC时等号成立,V取得最大值,其值为,此时AB=AC=.

解法2:设AB=x,在△ABC中,(0<x<2),

∴三棱锥P-ABC的体积为

                                           ……6分

            

 ∵0<x<2,0<x2<4,∴当x2=2,即时,V取得最大值,其值为,此时AB=AC=.                                     ……8分

求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..,给出如下两种解法:

解法1:作DG⊥EF,垂足为G,连接AG,

∵PA⊥平面ABC,平面ABC∥平面DEF,∴P A⊥平面DEF,

∵EFÌ平面DEF,∴ P A⊥EF.

∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面PAG,AGÌ平面PAG,∴EF⊥AG,

∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角.                   ……10分

                         在Rt△EDF中,DE=DF=

                         ,∴.

                          在Rt△ADG中,

.

∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为.                ……14分

解法2:分别以AB、AC、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,0,1),E(,0,1),

F(0,,1). ∴.       ……9分

为平面AEF的法向量,

,令,则,z=-1,

为平面AEF的一个法向量.              ……11分

∵平面DEF的一个法向量为

                                                       ……13分

所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.  

∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为.                 ……14分

19. (本小题满分12分)

某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)

(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时,写出f(x)的解析式;

(2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取何值?

(本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方法,以及运算求解和应用意识)

解:(1) 生产150件产品,需加工A型零件450个,则完成A型零件加工所需时间(x∈N*,且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生产150件产品,需加工B型零件150个,则完成B型零件加工所需时间(x∈N*,且1≤x≤49).            ……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时,则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者,

令f(x)≥g(x),则,解得

所以,当1≤x≤32时,f(x)>g(x);当33≤x≤492时,f(x)<g(x).

                 ……6分

当1≤x≤32时,,故h(x)在[1,32]上单调递减,

则h(x)在[1,32]上的最小值为(小时);       ……8分

当33≤x≤49时,,故h(x)在[33,49]上单调递增,

则h(x)在[33,49]上的最小值为(小时); ……10分

∵h(33)> h(32),∴h(x)在[1,49]上的最小值为h(32), ∴x=32.

答:为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取32.        ……12分

20 (本小题满分14分)

已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+x2=64相内切

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;

(2)设直线l: y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量

,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、类与整的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

解:(1)圆M:(x-2)2+x2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.

∵|AM|=4<R,∴点A(-2,0)在圆M内,

设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得r= |CA|,且|CM|=R-r,

即|CM+|CA|=8>|AM|,                                    ……3分

∴圆心CD的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,

设其方程为(a>b>0),则a=4,c=2,

∴b2=a2-c2=12,∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.

……5分

(2)由消去y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,

设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.

1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.        ①           ……7分

消去y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,

设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=.

2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.        ②           ……9分

,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即x1+x2= x3+x4

,∴2km=0或

解得k=0或m=0,                                   ……11分

当k=0时,由①、②得

∵m∈Z,∴m的值为-3,-2,-1,0,1,2,3;

当m=0时,由①、②得

∵k∈Z,∴k=-1,0,1.

∴满足条件的直线共有9条.                          ……14分

21. (本小题满分14分)

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且a1=1.

(1)求证:数列{ an×2n}是等比数列;

(2)设Sn是数列{an}的前n项的和,问是否存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.     

(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)

(1)证法1:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,

                                        ……2分

由an+an+1=2n,得,故数列

是首项为,公比为-1的等比数列.                 ……4分

证法2:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,

                                        ……2分

故数列是首项为,公比为-1的等比数列.             

   ……4分

(2)解:由(1)得,即

                             ……6分

∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]

,                        ……8分

要使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,

对任意n∈N*都成立.

①当n为正奇数时,由(*)式得

∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m           ……10分

①当n为正奇数时,由(*)式得

∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1.           ……10分

②当n为正偶数时,由(*)式得

∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立.

当且仅当n=2时,有最小值1.5,∴λ<1.5.      ……12分

综上所述,存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,λ的取值范围是(-∞,1).                                            ……14分

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