四川省双流县2009届高三第二次诊断性模拟考试
数学（理）试题 （2009、5）
考生注意；全卷满分150分，完成时间120分钟
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：（本题只有12个题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个正确，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上。
1．已知A，B满足运算
，则
A．
B．
C．
D．
2．设
为实数时，实数
的值是
A．3 B．
3．若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为
A．10 B．
4．若
，则
的值是
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
满足：
且对任意的正整数
都有
，若数列的前
项和为
，则
A．
B．
C．
D．2
6．在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数，连结原点
与点
，用
表示线段
上除端点外的整点个数，则
A．1 B．
7．已知函数
的定义域为
，不等式
恒成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
8．用1、2、3、4四个数字构造一个四位数，这个数个位数字是1，且恰好有两个相同数字的概率是
A．
B．
C．
D．
9．已知平面上两点
和
，若直线上存在点P使
，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是
①
②
③
④
A.
①③ B． ③④ C． ②③ D． ①②
10．如图所示，
为正三角形，四边形
为正方形，平面
平面，
为平面内的一动点，且满足
，则点在正方形内的轨迹为
(注意：为正方形的中心)
A.
B． C．
D．
11．设
，在
上分别有动点
，若
，
的重心是
，则
的最小值是
A．1 B．
12．函数
，若
，则
的最小值为
A． B．
C．2 D．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，共16分）把答案填在题中横线上。
13．10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为
14．已知圆的半径为，它的内接
满足
，则面积的最大值是
15．已知
所确定的平面区域记为D．若圆
所有的点都在区域D上，则圆的面积的最大值为
16．设球的半径为，
为球面上三点，
与
、与
的球面距离都为
，与的球面距离为
，则球夹在二面角
内的那部分的体积是
三、解答题（本大题共6个小题，共74分）
17．（本大题满分12分）
已知函数
（1）
若
，且
，求
的值；
（2）
设
为常数，若
在区间
上是增函数，求
的取值范围。
18． （本大题满分12分）
如图，直三棱柱
中，
为棱
上的一动点，
分别为
的重心。
（1）
求证：
（2）
若点在
上的正射影正好为
（i）
求二面角
的大小；
（ii）
求点
到平面
的距离。
19． （本大题满分12分）
一个盒子中装有分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球，现从中又放回地随机抽取2个球，抽取的球的标号分别为
，记
（1）
求
取得最大值时的概率；
（2）
求的分布列及数学期望。
20． （本大题满分12分）
已知数列满足
（1）
求数列的通项公式
；
（2）
设
，若数列
的前项和为，求的表达式；
（3）
记
，求证：
21． （本大题满分12分）
（如图）设椭圆中心在坐标原点，
是它的两个顶点，直线
与
相交于点
，与椭圆相交于
两点。
（1）
若
，求
的值；
（2）
求四边形
面积的最大值。
22． （本大题满分14分）
已知函数
。
（1）
若函数
在
上是增函数，求正实数的取值范围；
（2）
当
时，求函数在
上的最大值和最小值；
（3）
当时，证明：对任意的正整数
，不等式
都成立。
四川省双流县2009届高三第二次诊断性模拟考试
选择题： CABDA BBADA BB
4、原式
由条件可求得：
原式
故选D
5、由题得
，则
是公比为
的等比数列，则
，故选答案
6、由已知可得
，直线
的方程
，
直线过两个整点
，（
），即
，故应选B
7、令
，则
，其值域为
．由
对数函数的单调性可知：
，且
的最小值
而，
故选答案
。
8、共有
个四位数，其中个位数字是1，且恰好有两个相同数字的四位数分为两类：一类：“
个；另一类；其他三个数字之一重复，有
种。所以答案为：A
9、由题意可知满足
的
的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲线型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点，故选D
10、选。可以证明D点和AB的中点E到P点和C点的距离相等，所以排除B和C选项。满足
的点在PC的中垂面上，PC的中垂面与ABCD的交线是直线，从而选A。
11、解：以
的平分线所在直线为
轴，建立坐标系，设
，则
则
、
、
，
所以
，故当且仅当
，即
为正三角形时，
故选B
12、
则
，
，
故
则
的最小值为，故选答案。
二、填空题
13、
。
14、利用正弦定理可将已知等式变为
即
，
， 
当
时，
有最大值
15、
。
16、
。画图分析得
球
在二面角
内的那一部分的体积是球的体积的，所以
。
三、解答题：
17、解：
（1）由
得
或
在
上是增函数，
可额
可得
18、（1）如图建立空间直角坐标系，则
设
分别为
的重心，
，
，即
（2）（i）
平面
，
，平面的法向量为
，
平面
的法向量为
故
，即二面角
的大小为
（ii）设平面
的法向量
，
，由
解得
又
，点
到平面
的距离为
18、解：（I）抽取的球的标号可能为1，2，3，4
则
分别为0，1，2，3：
分别为
因此
的所有取值为0，1，2，3，4，5
当
时，可取最大值5，此时
（Ⅱ）当
时，
的所有取值为（1，2），此时
；
当
时，的所有取值为（1，1），（1，3），（2，2），此时
当
时，的所有取值为（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此时
当
时，的所有取值为（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此时
当
时，的所有取值为（3，4），（4，1），（4，3），此时
故的分布列为：
0
1
2
3
4
5
。
20解：（1）
故
。
（Ⅱ）由（I）知
令
则
。当
时，
；
当
时，
（Ⅲ）
，
①-②得
令
则
。
则
。
而
。
21、（I）解：依题设得椭圆的方程为
，
直线
的方程分别为
如图，设
其中
，
且
满足方程
故
①
由
知
得
由
在
上知
得
。
所以
，化简得
，
解得
或
。
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点
，
到的距离分别为
，
又
，所以四边形
的面积为
，
当
即当
时，上式取等号，所以
的最大值为2
。
解法二：由题设，
，
设
由①得
，
故四边形的面积为
+
=
当
时，上式取等号，所以的最大值为
22、解：（I）由题设可得
函数在
上是增函数，
当
时，不等式
即
恒成立。
当时，
的最大值为1，则实数
的取值范围是；
（Ⅱ）当
时，
当
时，
，于是 在
上单调递减；
当
时，
，于是在
上单调递增。
又
综上所述，当
时，函数在
上的最小值为
，当
时，
函数在上的最大值为
（Ⅲ）当时，由（Ⅰ）知
在上是增函数
对于任意的正整数
，有
，则
即
，
。
。
而
则
成立，