江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题一. YCY1.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数.依次记为m和n.则的概率为 ——青夏教育精英家教网——

江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题

一、

YCY

1、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为

2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．

3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：

①若，则； ②若，则；

③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则。

其中正确命题的序号是

4、=

5、已知点A、B、C满足，，，则的值是_____________.

6、若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第项．

7、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为

8、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是

9、实数满足，且，则

10、已知直线和直线与两坐标轴；围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为

11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是

12、已知O为坐标原点, 集合

且

13、已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于的方程有四个根，则得取值范围是

14、已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法

（1）

（2）时，有最小值，无最大值

（3）恒成立

（4）,, 则的取值范围为（-

其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．

（1）求tanα的值；

（2）求cos()的值．

16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的

中点．

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积．

17、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、

两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.

18、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明

19、已知数列，中，，且是函数

的一个极值点.

（1）求数列的通项公式；

（2）若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点的切线始终与平行（O 为原点），求证：当时，不等式

对任意都成立.

20、已知其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值;

（2）求证：在（1）的条件下，

（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

理科加试题

1、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.

(1) 求油罐被引爆的概率.

(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望

2、已知二次函数为常数）；.若直线₁、₂与函数f（x）的图象以及₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

（1）求、b、c的值

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

3、选修4－2：矩阵与变换

在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积

这里M= N=

4、选修4－4：坐标系与参数方程

和的极坐标方程分别为．

（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．

一、填空题

1、 2、40 3、② ④） 4、-1 5、 6、3

7、 8、 9、1 10、 11、 12、46 13、

14、（3）（4）

二、解答题

15、解：（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a?b＝6sin²α＋5sinαcosα－4cos²α＝0．……………………………………2分

由于cosα≠0，∴6tan²α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……………………………………………6分

∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分

（2）∵α∈（），∴．

由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．

∴，…………………………………………………………12分

cos()＝

＝＝． ………………………14分

16、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

（2）

（3）

且

，

∴ 即

=

=

17、解：由已知圆的方程为，

按平移得到.

∵∴.

即.

又，且，∴.∴.

设，的中点为D.

由，则，又.

∴到的距离等于.

即， ∴.

∴直线的方程为：或.

18、（1）在△ADE中，y²＝x²＋AE²－2x?AE?cos60°y²＝x²＋AE²－x?AE,①

又S_△ADE＝ S_△ABC＝a²＝x?AE?sin60°x?AE＝2.②

②代入①得y²＝x²＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）。。。.6分

（2）如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x²＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.

如果DE是参观线路，记f（x）＝x²＋，可知

函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，

故f（x）_max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y_max＝.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.。。。。。。。。。。。8分

19、解：（1）由

是首项为，公比为的等比数列

当时，，

所以

（2）由得：

(作差证明)

综上所述当时，不等式对任意都成立.

20．解．（1）

当时，，此时为单调递减

当时，，此时为单调递增

的极小值为

（2）的极小值，即在的最小值为1

令

又当时

在上单调递减

当时，

（3）假设存在实数，使有最小值3，

①当时，由于，则

函数是上的增函数

解得（舍去）

②当时，则当时，

此时是减函数

当时，，此时是增函数

解得

理科加试题

1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C

∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为

（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，

P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C

ξ

2

3

4

5

故ξ的分布列为：

Eξ=2×+3×+4×+5×=

2、解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

则，

∴函数f（x）的解析式为

（2）由得

∵0≤t≤2，∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（

由定积分的几何意义知：

3、解：在矩阵N= 的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形，在矩阵M= 的作用下，一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此

△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1

4、解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1），，由得．

所以．

即为的直角坐标方程．

同理为的直角坐标方程．

（2）由解得．

即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．