2009年石家庄高中毕业班复习第二次模拟考试试卷
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式:
如果事件A、B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 P(A?B)=P(A) ?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 
球的表面积公式
其中R表示球的半径
球的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的选项填涂在答题卡上。
1．设集合M=?-1，1?,N=?x?x2+x-2＜0?,则M∩N等于
A．?-1，1? B．?0?
C．?-1?
D．?-1，1?
2．函数
的最小正周期为
A．
B．π
C．2π D．4π
3．抛物线x2=4y上一点M到它的焦点的距离为2，则M点的纵坐标为
A．
B．1 C．2 D．
4．在各项均为正数的等比数列?an?中，a1=1，a1+a2+a3=7，则a4+a5=
A．12 B．16 C．18
D．24
5．设a=log0.23，b=log30.2，则
A．-1＜b＜a B． b＜a＜-1 C．a＜-1＜b D．b＜-1＜a
6．用1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，要求相邻数字奇偶性不同，且1不能排在首位，则这样的四位数的个数是
A．6 B．8 C．12
D．16
7．若x，y满足条件
，则z=x－y的最小值为
A．1 B．－1 C． 3 D．－3
8．把直线y=λx+2按向量a=(－1，2)平移后恰与曲线x2+y2+2x－4y+4=0相切，则实数λ的值为
A．±1 B．1或2 C．
D．－1或2
9．设f－1(x)是函数
的反函数，使f－1(x)＞1成立的x取值范围是
A．
B．
C．
D．x＜0
10．如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，某时刻太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆木板在地面上的投影是个椭圆面，已知半椭圆面的面积与半圆木板的面积之比等于
，则光线与地面所成的角的大小为(注：长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆面积为S=πab)
11．现有四个函数：①y=x?sinx ②y=x?cosx ③y=x??cosx?
④y=x?2x，它们图像的一部分如下图所示，但顺序已被打乱，则图象对应的函数序号按照从左到右排序正确的一组是
A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①
12．在三棱锥P－ABC， PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分别为棱AB、AC上的动点，且AD=CE，连结DE，当三棱锥P－ABC体积最大时，平面PDE和平面PBC所成的二面角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上
13.若
展开式的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为____________。
（用数字作答）
14.在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则A=_____
15.以正多面体各面的中心为顶点，得到一个新的正多面体，我们称这个新的多面体为原多面体的正子体。一个正四面体A1的表面积为S1，它的正子体A2的表面积为S2，A2的正子体A3的表面积为S3，??????，如此下去，记第n个正子体的表面积为Sn，已知
，则S1=____________。
16.M和N分别为曲线
和x2+y2=1上的动点，则?MN?的最小值为____________。
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题10分）
已知向量a=(sinωx,cosωx), 
(ω＞0),若函数f(x)=a?b图象的相邻两条对称轴之间的距离为
。
（Ⅰ）求ω的最小值
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间。
18.（本题12分）
在梯形ABCD中，BC∥AD，BA⊥AD，AB=BC=
AD=a，O是AD的中点，将△DOC沿OC折起，使D位于P处，且二面角P-AB-C的大小为45°。
（Ⅰ）求证：OP⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线CD与平面ABC所成的角的大小。
19.（本题12分）
甲、乙两名运动员每次试跳2米高度成功的概率分别为
和p，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，甲、乙各试跳两次，设乙试跳成功的次数为ξ，且ξ的期望值Eξ=
,η表示甲、乙试跳成功的次数差的绝对值。
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求η的分布列及期望。
20.（本题12分）
已知函数F(x)=2loga(2x+t-2)-logax(a＞0,a≠1,t∈R)的图象在x=2处的切线平行于x轴。
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[１，4]，都有F(x)≥2，求a的取值范围。
21.（本题12分）
已知双曲线
的离心率为
，它的右准线与渐近线在第一象限内的交点为M，且点M到原点的距离为
。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l过双曲线C的右焦点F，交它的右支于P、Q两点，问双曲线C的实轴上是否存在点N，使得无论直线l处于何种位置，都有PNF=∠QNF？若存在，试确定点N的位置；若不存在，说明理由。
22.（本题12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn,且a1=4，
。
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设数列?bn?满足：b1=4，且bn+1=bn2-(n-1)bn-2(n∈N*),求证：bn＞an（n≥2，n∈N*）；
（Ⅲ）求证：
2009年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷
数学（理科）答案
一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.C 2. B 3. B 4. D 5.D 6.A
7. A 8.C 9. B 10. A 11.C 12.C
一、B卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.B 2. C 3. C 4. D 5.D 6.A
7. A 8.B 9. C 10. A 11.B 12.B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．20 14．
15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解：（Ⅰ）依题意，
……………………3分
∵函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ,
∴函数 的最小正周期为 ,又 ＞0,
∴ ，解得 =1. …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
依题意, ≤2 ≤ ，…………………8分
所以 ≤ ≤ ，
所以函数 的单调递增区间为[ ， ]， . ……………10分
18. 解：（Ⅰ）依题意 平行且等于 ，
// ，又
依题意, .
平面 ，
平面 .……………3分
，
可知 为二面角 的平面角， .
， ，即 .
所以 平面 .……………6分
（II）延长 ， 交于E，连结 ， .
由(Ⅰ)可知, ,又 ,
.
,由(Ⅰ)可知, .
平面 .
为直线 与平面 所成的角. ……………9分
在直角三角形 中, ,
……………12分
19. 解：(Ⅰ)依题意知 ，故 = ，∴ = ．…………4分
（Ⅱ） 的取值可以是0，1，2.
设甲两次试跳成功的次数为 ，
( =0)= + +
= + +
= ． …………6分
( =2)= + = = .
∴ ( =1)=1 ( =0) ( =2)= ． ………9分
故 的分布列是
0 1 2
………10分
E = ．…………12分
20．解：(Ⅰ) ……………………3分
∵函数 的图象在 处的切线平行于x轴,
,
解得 .………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可知,
……………………6分
令
∴当 时， ,当 时， .
∴ 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数.
， .…………………………8分
∴当 时，有 ，当 时，有 .
∵当 时， 恒成立, ∴ …………………………10分
∴可列 ①，或 ②
不等式组①的解集为空集，不等式组②得
综上所述， 的取值范围是： .. ……………………12分.
解法二：由于对任意的 ，都有 成立，
所以 ，即 ，可得 .…………7分
于是 可化为 .
当 时, .
即 最小值是32. (当 时，上式取等号) …………9分
所以 ，又 ，所以 .
所以 的取值范围是 …………12分
21.解：（Ⅰ）由 可得 …………2分
由 解得 ,
依题意， ,
所以双曲线C的方程为 …………5分
(Ⅱ)
(?)若直线l的斜率不存在，由双曲线的对称性可知，双曲线C实轴上的任何点都适合题意. …………………6分
(?)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x 3)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N (t，0)
由 得 ，
∵直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，
∴
解得k> 或k< . ………………9分
∵∠PNF=∠QNF,∴KNP= KNQ. …………………10分
∴ ∴
即2x1x2-(t+3)(x1+x2)+6t=0，
将x1+x2= 代入上式，整理得t=1.
综上所述：：存在点N满足条件，点N的坐标是N(1，0). …………12分
22.解：（?）当 时， ,
,
可得: ,
.…………2分
可得, …………4分
（?）(1)当n=2时， 不等式成立. …………5分
(2)假设当 时，不等式成立，即 .
那么,当 时，
,所以当 时，不等式也成立.
根据(1),(2)可知，当 时， .…………8分
（?）设 …………9分
上单调递减,
因为当 时, …………10分
.…………12分