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解题必须有思想的指导,也就是说,数学解题的基本方法是具有思想性的. 数学的思想是数学基本方法的灵魂.

在数学复习中，有意识地揭示这些数学基本方法中所隐含的数学思想, 在数学学习活动中形成一些数学的观点；在数学知识结构的形成、完善过程中，有意识地用数学的观点去观察、分析数学问题，不断地获取、积累、深化这些数学的观点，使这些数学的观点能够在数学思维中升华为数学意识,从而就能从根本上提高思维能力, 提升思维层次,提高数学能力,这是数学学习的有效方法之一,也是数学学习的目的.

例1．已知 , ,求 　的值.

分析(1) ,,在公式

中是联系在一起的,由此,我们可以下面的解法.

解法(1) ∵ ,

∴ ===8.

分析(2) 显然由和要分别解出的值是不可能的,但是,我们可以利用和消去中的变元,从而得的值,也就是说,消元就是解这个问题的指导思想,而且, 消元在代数式的求值中具有一般的指导意义.

解法(2) ∵ , ,

∴ , ,

∴ =

　　　　　　　 =

　　　　　　　 =

　　　　　　　 =8.

例2. 设，求证：.

证明方法(一):

=

=　　 (1)

>

故成立.

证明方法(二)

==

∴ ==

故成立.

问题: ①表达式(1)是如何冒出来的? ②证明方法(一)与证明方法(二)有什么关系?

例3．化简：.

分析: 这是一个极容易的化简题, 学生很可能盲目地获得结果.我们要问: 解本题的指导思

想是什么?

先看下面两个解法:

解法(一): 原式=

=

=

=

=1

解法(二): 原式=

=

=1

说明: 证明方法(一)中将被化简式的表达形式与公式挂钩不容易, 因此，这一种方法的

技巧性较强.证明方法(二)的指导思想是:“消元”. 我们又要问:消元的方法是什么? 回答是: ① 减少三角函数名称,② 减少角的表达形式.

由证明方法(二)的指导思想还可以获得以下证明方法:

解法(三) 原式消元成只含的表达式而被化简.

原式=

　　 =

=1

解法(四) 原式消元成只含的表达式而被化简.

原式=　

　　 =

　　 =1

例4．已知圆，直线过定点A (1，0)．

(1)若与圆相切，求的方程；　　　　　　

(2)若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.

(1) 解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．　　

②若直线斜率存在，设直线为，即．

由题意知，圆心(3，4)到已知直线的距离等于半径2，即： ，

解之得　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所求直线方程是，。　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

(2) 解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为

由　 得．　　　　 　　　　

又直线CM与垂直，由　得．　　　 　

∴　 　

　　　　 为定值.　　

故是定值，且为6.　　　　　　　　　　　　　　　

解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为.

由　 得．　　　 　　　　　　

再由　得．

∴ 　　得． 　　

以下同解法一．

解法三：用几何法，

如图所示，△AMC∽△ABN，则，可得，是定值．

说明: 显然, 由于应用了平面几何知识, 解法(三)比解法(一)、解法(二)简洁.

例5． 双曲线的离心率为，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点.

(1) 若，求直线的斜率；

(2) 证明：M、N两点的纵坐标之积为.

解: (1)解：设，

∵　 双曲线的离心率为， ∴　 ，双曲线方程为，

∵ ， ∴，

∵ 直线为,　 ∴ ，

∵ 点Q是双曲线上一点， ∴ ，整理得，　 　

解得.

(2)证明：设由题设可知:直线的方程为　,直线的方程为.　

∴ ，

∴ ，

由得

∴ ，

，

∴ .(k不存在要作特殊处理)

例6．　 (扬州市2008届高三第二次调研测试)

已知圆C：，直线，且直线与圆C交于，点满足.

(1) 当时,求的值;

(2) 若,求的取值范围.

解：(1)当时,点在圆上，故当且仅当直线过圆心时满足，

∵ 圆心的坐标为(1，1)， ∴ .

设,

由　消去可得,,

,　 ,

∵　 ,　 ∴ ,

∴ ,　 ,　

即 ,

∴ ,

方法(1)　 对进行整理,

方法(2)　 对进行整理,

令, 则函数的图象与轴在上有公共点,若,则,故不可取.

故

∴　 或或

或或

显然, 方法(1)和(2)不易求解.

方法(3) 由得,　

　 ① 令

　　 ()

∴ ,　 ,　 　　　,

,　

∴　 2<,　 解得,或

② 令 ,则

∴ 在上为单调减函数,

∴　

∵　 =

∴　 2, 2,　 解得,或

例7．苏、锡、常、镇四市2007年第二次模拟考试题(题20)

已知点都在椭圆()上，分别过两个焦点，当时，有成立.

(1)求此椭圆的离心率;

(2)设,,当点A在椭圆上运动时,

求证: 始终是定植.

分析: 本题是一个求值的问题. 在高中数学中, 求值的一般方法是:一是给出未知量的方程,解这个方程得值,题(1)可用这一思想;二是给出未知量的函数表达式,对表达式消元得值,题(2)可用这一思想.题(2)给出未知量的函数表达式的方法有两种:

(1) 解: 当时，，

∴ , ,

∴ .

由椭圆的定义,得, ∴ ,

在直角三角形中,

∵ ,

∴ 　　∴ .

(2) 解：由可知,, 故椭圆的方程可化为,焦点为.

设,,.

方法① .当直线的斜率存在时,

方法(1)直线的方程为,代入椭圆方程,得

,

∴ , ,　

∵ ,　 ∴ ,　 ,

同理可得, ,　　

∴ +,

∴ .　　　　　　　　

方法(2)直线的方程为,代入椭圆方程,得

-,

.

∵ ,　

∴ ,　 , ,

∴ ,　

同理可得, ,

∴ +=.

.当直线的斜率不存在时,,

.

综上所述, 是定值.

方法② ∵ ,, ∴ ,,

　∴ 　　　

∴ 两式相减可得, ,　 (∵

　,

.

同理可得, , ∴ .

.当直线的斜率不存在时,, .

综上所述, 是定值.

例8．(宿迁市2007届高三年级第四次考试)21题

由原点O向曲线引切线，切点异于点O，再由点引此曲线的切线，切点异于点，如此继续下去，得到点列.

(1) 求;

(2) 求证数列为等比数列.

(1) ∵, ∴

∴ 过原点O, 切点为的切线方程为,

∴ 　消去得,

∵ ∴ .

(2) 证明: 设过点的直线与曲线切于点,

则切线方程为

∴

∵ ,　

∴

∴ ,　

∵, ∴ ,

∴数列是以为首项,为公比的等比数列.