[例1](2005年.辽宁卷21)
已知椭圆的左、右焦点分别是F1(－c，0)、F2(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
(Ⅰ)设为点P的横坐标，证明；
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；
(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.
解
： (Ⅰ)证法一：设点P的坐标为
由P在椭圆上，得
由，所以
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得，即
由，所以
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为
当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
解法二：设点T的坐标为
当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为()，
则
因此
①
由得
②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是
③
④
(Ⅲ)解法一：C上存在点M()使S=的充要条件是
由③得，由④得
所以，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.
当时，，
由，
，
，得
解法二：C上存在点M()使S=的充要条件是
③
④
由④得
上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.
当时，记，
由知，则
[例2](2005年.重庆卷.理21)
已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围.
解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
(Ⅱ)将代入得
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
[例3](2005年.全国卷Ⅰ.理21文22)
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
(I)求椭圆的离心率；
(II)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
解：(I)设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得.
令
则
共线，得
(II)证明：由(I)知，所以椭圆可化为.
在椭圆上，
即 ①
由(I)知
又又，代入①得
故为定值，定值为1.
,等于已知
的面积