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[例5]设函数 f(x)＝x³+ax²+2bx+c．若当 x∈(0，1)时，f(x)取得极大值；x∈(1，2)时，f(x)取得极小值，则 的取值范围是　　　　　　　　 ．

提示：f´(x)＝　x²+ax+2b，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在(0，1)之间，另一根在(1，2)之间，∴ ，得 ，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知k_PA∈(，1)．

『类题1』α是△ABC的内角，若sinα+cosα＝－ ，则tanα的值是(　　 )

A．－ 　　　　 B．－ 　　　　 C．　　　　 D．　　　　

方程思想：

[方法1] ＝ －(+ cosα) (＞0)　1 － cos²α＝(+ cosα)²

　cosα＝ － (舍正)，sinα＝ ，tanα＝－ ；

[方法2](sinα+cosα)² ＝ 　sinαcosα＝ － ，构造方程 x² + x－ ＝ 0

　sinα＝ ，cosα＝ － ；

[方法3]令tan ＝ t，则 + ＝ － (万能公式)，解得t ＝3 (舍负)，

tanα＝ ＝ － ；

函数思想：

[方法4]sinα+cosα＝ － ＜α＜π，又y ＝ tanα增－1＜tanα＜0，故选B；

[方法5] 已知sinα＝ －(+ cosα)　tanα＝ －(1 + )

且 －1＜cosα＜ － 　－ ＜ tanα＜0 ，选B；

数形结合思想：

[方法6]构造如图的三角形，对照题设知sinα＝ ，cosα＝ － ；

[方法7]观察研究 sinα+cosα＝ － 知0＜ sinα＜－ cosα＜1，

只能选B。

『类题2』设P是曲线 y＝x³－x+上任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是　　　 　　　　　　．[0，)∪[，π)

『类题3』 若曲线y ＝ 与y ＝ x+2有且仅有一个公共点P，O为坐标原点，则|OP|²的取值范围是 　　　.

『类题4』已知双曲线 上一点M到右焦点F的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|等于(　　 )

A．　　　B．　　　C．　　　D．或

[提示]数形结合，a＝5，c＝7，|MF|＝11＜a+c，M只能在右支上，N、O分别是MF、FF₁的中点，结合图形，联想到中位线及双曲线定义知 |ON| ＝ ，选B。

『类题5』已知平面上直线 l 的方向向量 e ＝(－ ，)，点O(0，0)和A(1，－2)在 l 上的射影分别是 O´ 和 A´，且＝λe，其中λ等于　 (　 D　 )

A．　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　 D．－2

『类题6』某厂2002年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金恰好与该月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建设资金又恰好与12月份的生产利润相同，则全年的总利润W与全年总投入建设资金N的大小关系是　　　 　　　　　　　　　.

[分析]利润逐月算术增长(等差)，对应于一次函数；投入逐月几何增长(等比)，对应于指数函数。作出图象便知。

[例6]至2008年奥运会时，北京市区居民生活将全部用上清洁能源，居民电力消费比例由2002年的13%提高到25%，那么电力消费比例年平均增长率大约为(　　 )

A．2%　　　　　 B．15.4‰　　　　 C．15.4%　　　　 D．11.9%

[提示]∵(1+x)⁶ ＝ ＝ ＜2 (凑整)，又 (1+x)⁶＞1+6x+15x²(适当放缩)，

∴15x²+6x –1＜0，对应方程的根为x＝ (舍负)，而2%＜＜＜＜15%，

∴必选D。

『类题1』 某市用水的收费方法是：水费＝基本费+超额费，若每月用水量不超过最低量a米³时，只付基本费用c元，若用水量超过a米³时，除了付c元外，超过部分按b元/米³，该市某用户一个季度的用水量和支付费用如下表，则最低限量为(　　 )

A．7m³　　 B．8m³　　 C．9m³　　 D．10m³　

[提示]假设4月份用水量超过a m³，则

无解，得c＝8，b＝2，a＝9，故选C。

『类题2』某招呼站，每天均有三辆开往省城南京的分为上、中、下等级的客车。某天袁先生准备在该招呼站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车的顺序。为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆好则上第二辆，否则上第三辆。那么他乘上上等车的概率为　　　 0.5　　　 .

[解](列举法)

概率P ＝＝0.5

『类题3』 如图所示是一个的5×4×4的长方体，上面有2×1×4、2×1×5、3×1×4穿透的三个洞，那么剩下部分的体积是(　　 )

A．50　　　 B．54　　　 C．56　　　 D．58

[解]V＝80－(8+10+12)+(2+3+2)－1＝56，选C。

[例7]用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么共用了　　 1022　　　 块砖。

[方法一](递推归纳)：第n层砌好后剩下a_n块砖，则共有a₀块砖，且a ₉ ＝0，a₁＝a₀－1，a₂ ＝a₁－1＝a₀－－1，a₃＝a₂－1＝a₀－－－1，……，

a₉＝a₀－ (++…+ +1)＝0 ，a₀ ＝2(1－)，得a₀＝2¹⁰－2 ＝1022；

[方法二](分析列举)：设第8层砌好后剩下x块，则x不可能为奇数，x只能为偶数且x＝2，如果x是大于4的偶数，那还得继续砌下去。进行递推如下表：

由表可知共有砖块512+510＝1022块；

[方法三](借一还一)：设第n层用砖a_n块，借一块砖砌第10层，a₁₀＝1，便知a₁＝2a₂＝2²a₃＝…＝2⁹a₁₀＝2⁹，S ＝ a₁+ a₂+…+ a₉＝2⁹+2⁸+…+2 ＝ 2 (2⁹ －1)＝1022(借的不算，为什么只借一块？)；

『类题1』 ABCD-A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N₊)，设两蚂蚁都走完第2003段后分别停在正方体的一个顶点处，则黑白蚂蚁的距离是(　　 )

A．1　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．0

[提示]归纳T＝ 6，f (2003) ＝ f (5) ，选B。

『类题2』 5只猴子分1堆苹果，第一只猴子把苹果平均分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉取走其中1堆；第二只猴子把剩下的苹果平均分成5堆也多1个，把多的1个扔掉也取走1堆；以后每只猴子都如此办理，则最后1只猴子所得的苹果的最小值是(　　 )

A．1　　　　 B．624　　　　 C．255　　　　 D．625

[解]设第n只猴子取走a_n个苹果，则4a_n ＝ 5 a_n+1 +1　

　a_n+1 +1 ＝ ( a_n +1)　 　a_n+1 +1 ＝ ()^{n －1}( a₁ +1)，

a₅ ＝ ()⁴( a₁ +1) –1，又a₅∈N₊，∴a₅≥4⁴–1 ＝ 255，选C。