高考数学冲刺预测试卷

参考答案

一、选择题

1．选C。，=，，p是q的充分必要条件。

点评：本题主要考查集合、解不等式和充要条件的知识，以及分析问题和解决问题的能力。

2．(理)选C。设z=a+bi，|z|－z=2－4i，则a=3，b=－4，∴z=3－4i．

。

点评：本题主要考查复数的基本概念和基本运算，这是高考的常见题型，应注意把握好难度。

(文)选B．∵，∴，即。

，

。

点评：本题主要考查同角的三角函数的化简和诱导公式。

3．选D。位置不确定。

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，以及空间想象能力。

4．选C。函数以2为周期，画出的图象，数形结合。

点评：本题主要考查函数的周期和函数的图象，以及数形结合的思想。

5．选A。从除e和x外，还有5个不同的字母， 含“ex”的排列数是，从7个不同的字母的排列数是，故含“at”(“at”相连且顺序不变)的概率为。

点评：本题主要考查古典概率问题及排列与组合的基础知识。

6．选D。由的图象可知， 斜率先增大后减小。

点评：本题主要导数与函数的综合以及函数的单调性。

7．选A。如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB。设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t(单位：秒)，AB为人影长度，设为y，则∵BE∥CD，∴。

∴，又80 m/min=1.4 m/s，

∴y=x=t(x=t)。

∵y′=，∴人影长度的变化速率为m/s。

点评：本题主要考查有关射影知识和平面几何的相似比。

8．选B。就是在上的射影，要求其最大值，就是求点P的横坐标x的最大值，这只需作出的平面区域，即可看出x－4y+3=0与3x+5y=25的交点(5，2)就是取最大值时P点的位置。

点评：本题主要考查线形区域与平面向量的基本知识。

9．选C。设正三棱锥的高为，底面正三角形的边长为，，。

这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值=。

点评：本题主要考查正三棱锥的有关知识和二面角的平面角的求法。

10．选D。不妨设F为右焦点，则。由于，所以点P在以原点为圆心， 为半径的圆上，即，联立消去x得，。

点评：本题主要考查双曲线与直线、平面向量等基础知识，以及分析问题的能力。

二、填空题。

11．填。过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A₁D₁于H，连PH，利用三垂线定理可证PH⊥A₁D₁．设P(x，y)，

∵|PH|² － |PH|² = 1，∴x² +1－ [(x)²+y²] =1，化简得。

点评：本题主要考查立体几何与解析几何的轨迹问题，这是高考命题的一个新趋势。

12．填(，)。∵，即，，∴，又∵，即，，∴，∴。

点评：本题主要考查同角的三角函数的化简，以及两角和的正弦公式的应用，和解三角不等式。

13．填③。当a²－b≤0时，f(x)=x²－2ax+b，图象的对称轴为x=a，开口向上，③对。

点评：本题主要考查二次函数的有关性质与绝对值等知识。

14．填2×3^n－1－1。烷烃的通式为，设第n个分子中C原子个数为a_n，则a_n+1=a_n+2a_n+2，故a_n=3^n－1(a₁+1)－1=2×3^n－1－1。

点评：本题主要考查数学与化学知识的综合，以及递推数列的通项的求法。

15．填2。∵，∴，又

。

点评：本题主要考查函数的极限以及组合的知识，以及分析问题和解决问题的能力。

三、解答题。

16．解析：(1)∵，∴。

∵在单调递增， ∴。

∴在恒成立， ∴。

(2) ∵在单调递增，

∵，，，

，，，

∴

，。

∵，∴。

综上：的解集是。

点评：本题主要考查导数、函数、三角函数与平面向量等知识的综合，以及分析问题和解决问题的能力．平面向量与三角函数的综合，是近几年高考考试的热点，应引起足够的重视。

17．证明：(I)∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，CD⊥AD

平面PAD

平面PAD

又为正三角形，E为PD中点

平面PCD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(II)(文)作PQ//AB且PQ＝AB，连QB、QC可得AD＝BC＝BQ＝AP＝DP＝CQ

平面PAD，所以

是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角

平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

(理)作，则F为QC中点，连PF

∴四边形AEFB是平行四边形，BF//AE

平面PDC

平面PDC

是BP与平面PDC所成的角

设PA＝a，则，

则由直三角形PFB可得

，。

直线PB与平面PDC所成角的大小为。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

点评：本题主要考查立体几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。

18．解：(Ⅰ)由题意，　　　 …………………2分

，，

∴为AF₁的三等分点。　　　　　　 ……………………………………………3分

，。

即椭圆方程为…………………………………………………5分

(Ⅱ)当直线DE与x轴垂直时，，

此时，四边形DMEN的面积为。

同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为。…6 分

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE∶，代入椭圆方程，消去

y得：

设

∴，

∴，

同理，　………………………8分

∴四边形的面积

，………………………………10分

令

∵

当，且S是以u为自变量的增函数，

∴。

综上可知，四边形DMEN面积的最大值为2，最小值为。………………12分

点评：本题主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。直线与圆锥曲线的位置关系问题是历年高考中经久不衰的重要题型，应复习到位，尤其是与平面向量的综合应引起足够的重视。

19．解：(Ⅰ)考生总人数是50，因此表中标出的总人数也应是50，所以a +b+47=50，

故a +b=50－47=3；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………4分

(Ⅱ)从表中可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，所以其概率为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………8分

(Ⅲ)(文)因为若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，

所以P(x=4，y=2)= P(x=4).P(y=2)，即，

解得： b=1，a=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………12分

(理)由已知，解得：a=1，b=2。

………………………………12分

点评：本题主要考查概率与统计的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。概率与统计的应用题是经几年高考应用题的热点题形，应引起足够的重视。

20．解： (1)由题意有f(0)= c=0，f^ノ(x)=3 x²+2ax+b，且f^ノ(1)= 3+2a+b=0。

又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f^ノ(0)= b，而直线y=2x+5到它所成的夹角为45°，

∴1=tan45°= ，解得b=― 3．代入3+2a+b=0得a=0。

故f(x)的解析式为f(x)=x³― 3x。

(2)∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]。

由f^ノ(x)=3x²―3=3(x―1) (x+1)可知，f(x)在(－∞，―1]和[1，+∞)上递增；在[－1，1]递减。

又f(―2)= ―2，f(―1)= 2，f(1)= ―2，f(2)= 2，

∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2。

∴对于任意实数α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4。

故m≥4，即m的最小值为4。

(3)∵g(x)=x(x³― 3x)+tx²+kx+s= x⁴+(t―3)x²+kx+s，∴g^ノ(x)= 4 x³+2(t―3)x+k，

∴要使g(x)在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x₀(x₀>1)使得g(x)在[1，x₀]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x₀]上g^ノ(x)≤0，而在[－1，0]上g^ノ(x)≥0。

令h(x)= g^ノ(x)，则h^ノ(x)= 12 x²+2(t―3)，当t―3≥0时，h^ノ(x)在R上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t和k，∴t―3<0。

当t―3<0时，g(x)在(－∞，―]和[，+∞)上递增，而在[―，―]上递减。

∴要使h(x)在[－3，―2]和[1，x₀]上h(x)≤0，而在[－1，0]上h(x)≥0，只需h(―2)= ―32―4 (t―3)+k

即

作出可行域如图所示，由图可知，当直线t+ k= z过A点时z取得最大值5，当直线t+ k= z过B点时z取得最大值―5。

故存在这样的常数t和k，其取值范围为[－5，5]。

点评：本题主要考查解析几何、导数、函数及不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。

21．解析：(1)∵，a，，

∴　∴　　∴　　∴．

∴a＝2或a＝3(a＝3时不合题意，舍去)．∴a＝2．

(2)，，由可得

．∴．

∴b＝5。

(3)由(2)知，，　∴．

∴．

∴，．

∵，．

当n≥3时，

．

∴．

综上得．

点评：本题主要考查两个基本数列和不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。解决本题第(1)小题的关键是利用条件确定的值，第(2)小题关键是利用二项式定理=>1+进行放缩得到。有关数列和不等式的综合题经常出现在高考压轴题中。