[例1]　 (07年广东)已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=

　 (A)　(B)　 (C)　 (D)

[解析]　 M={x|x<1},N={x|x>-1},M∩N={x|-1<x<1}.答案为C.

[说明]　 考查了函数的定义域.

[例2] (07年全国)设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则(　 )

A．　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

[解析] .答案为D.

[说明] 对数函数的最值问题.

[例3](07年安徽)下列函数中，反函数是其自身的函数为　　 (　　 )

(A)　　　　　　　　 (B)　

(C)　　　　　　　 (D)

[解析]在下列函数中，反函数是其自身的函数为，选D.

[说明]　 考查了反函数的求法.

[例4] (07年安徽)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

　 (A)0　　　　　　　　　　　　　 (B)1　　　　　　　　　　　　　　　 (C)3　　　　　　　　　　　　 (D)5

[解析]，，

∴，则可能为5，选D。

[说明]　 此题有函数的奇偶性，周期性，还和方程的根联系在一起.有一定的综合性.

[例5](07年北京)对于函数①f(x)=lg(|x-2|+1),②f(x)=(x-2)²,③f(x)=cos(x+2),判断如下三个命题的真假：

命题甲：f(x+2)是偶函数；

命题乙：f(x)在(-∞，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数；

命题丙：f(x+2)-f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是

A．①③　　　　　　　　　　 B.①②

C.③　　　　　　　　　　　　 D.②

[解析] ①不满足丙，排除A、B.③不满足甲，C排除.

答案为D.

[说明] 三个函数综合在一块考查了它们性质，可谓是题小量不小啊.

[例6](07年广东)客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是　　　　　 (　　 )

	s(km)		s(km)		s(km)		s(km)

　

　

[解析]　 客车共走140 km,用时2.5 h，因此排除A、D，而B中在乙地休息时没有显示出来.答案为C.

[说明]　 此题以图象说明路程-时间的关系，只要图看仔细了，应该不会出错.属于低难度题.

[例7](07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行

消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药

量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，

y与t的函数关系式为(a为常数)，

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)从药物释放开始，每立方米空气中的含

药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式

为　　　　　　　 .

(Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的含药量降低

到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放

开始，至少需要经过　　　 小时后，学生才能回到教室.

[分析](Ⅰ)两曲线交于点(0.1，1)，故t∈(0，0.1]时，y=10t；t∈[0.1，+∞)时，将(0.1，1)代入，得故所求函数关系为：

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：当t∈[0.1，+∞)时，y为t的减函数.

令.即小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室.

[说明]　 此题考查了数学建模在实际问题上的应用.有一定的区分度.

[例8] (07年北京) 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长

为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下

底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

(I)求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

(II)求面积的最大值．

[解答](I)依题意，以的中点为原点建立直角坐标系(如图)，则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，

解得，，

所以，

　　　 ，定义域为．

(II)记，

则，．

令，得．

因为当时，；当时，，

所以 是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

[说明]　 该题以椭圆为载体，以函数思想为灵魂，以不等式、导数、三角函数等为工具，非常自然地将解析几何与导数、函数、方程、不等式、三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体，无矫揉造作之嫌，是近年来较为成功的试题之一．

[例9]　 (07年上海) 已知函数，常数．

　　 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

　　 (2)若函数在上为增函数，求的取值范围．

[解答]　 (1)当时，，

对任意，，

　为偶函数．　

　　 当时，，

　　 取，得 ，　

　　 ，

　　 　函数既不是奇函数，也不是偶函数．　

　　 (2)解法一：设，

　　 ，　

　　 要使函数在上为增函数，必须恒成立．

　　 ，即恒成立．　

　　 又，．

　　 的取值范围是．

　　 解法二：当时，，显然在为增函数．　

当时，反比例函数在为增函数，

在为增函数．　

当时，同解法一．

[说明]　 本题考查了函数的性质问题，尤其是单调性的定义法证明更要引起注意.